6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari

Tekisliklarning perpendikulyarlik sharti. Ikki tekislik ularning

normal vektorlari



N₁ va N₂
o’zaro perpendikulyar bo’lgandagina

perpendikulyar bo’ladi(64-chizma).


64-chizma
Ikki vektorning perpendikulyarlik shartiga asosan
А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0 (12.12)
formulaga ega bo’lamiz. Bu ikki tekislikning perpendikulyarlik shartidir.
Endi berilgan ikkita М₁(х₁;у₁;z₁) va М₂(х₂;у₂;z₂) nuqtalar orqali o’tuvchi va А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 tekislikka perpendikulyar tekislik tengmasini topamiz.
М₁(х₁;у₁;z₁) nuqtadan o’tuvchi istalgan tekislik tenglamasini yozamiz.
У
А(х-х₁)+В(у-у₁)+С(z-z₁)=0 (12.13)
ko’rinishiga ega bo’ladi. Shartga binoan М₂(х₂;у₂;z₂) nuqta ham shu tekislikda yotganligi uchun uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantiradi, ya‘ni:
А(х₂ -х₁)+В(у₂-у₁)+С(z₂-z₁)=0 (12.14).
Ikkinchi tomondan (12.13) tekislik berilgan tekislikka perpendikulyar bo’lganligi uchun
АА₁+ВВ₁+СС₁=0 (12.15)
perpendikulyarlik sharti bajariladi. (12.14) va (12.15) ni birlashtirib

^{А(х2  х1)  В( у2  у1)  С(z2  z1)  0,}
(12.16)

^АА  ВВ  СС  0
 1 1 1
sistemaga ega bo’lamiz. (12.16) dan А,В va С koeffitsientlardan istalgan ikkitasini uchinchisi orqali ifodalab ularni topilgan qiymatlarini (12.13) tenglamaga qo’yib tenglamani uchinchi koeffitsientga qisqartirilsa izlanayotgan tenglama kelib chiqadi.

9. Uch tekislikning kesishish nuqtasi.

Berilgan uchta А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 va
А₃х+В₃у+С₃z+D₃=0 tekisliklarning kesishish nuqtasi.
^{A1x  B1y  C1z  D1  0,
}A x  B y  C z  D  0,
^ 2 2 2 2

^A x  B y  C z  D
 0.

 ^{3 3 3 3}
sistemani yechib topiladi. Sistemaning asosiy determinanti

А₁ В₁ С₁
  А₂ В₂ С₂  0
А₃ В₃ С₃
bo’lganda sistema yagona yechimga ega bo’ladi va berilgan uchta tekislik bir nuqtada kesishadi. Δ=0 bo’lganda tekisliklar bir nuqtada kesismaydi.
9–misol. 2х-у+3z+2=0, х+2y-z-9=0 va 3х+у-2z-11=0 tekisliklarning kesishishi nuqtasi topilsin.

Yechish.

^{2х  у  3z  2}


^x  2 y  z  9


^3x  y  2z  11
sistemani yechib tekisliklarning kesishish nuqtasining koordinatalari x=2, y=3, z=-1 larni topamiz. Demak tekisliklar M(2;3;-1) nuqtada kesishar ekan.

10. Nuqtadan tekislikgacha masofa.

Nuqtadan tekislikgacha masofa deganda shu nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning uzunligi nazarda tutiladi.
Berilgan М₁(х₁;у₁;z₁) nuqtadan Ах+Ву+Сz+D=0 tenglamasi yordamida berilgan Q tekislikgacha d masofa
d  (12.17)
formula yordamida topiladi. Bu formulani keltirib chiqarish tekislikda nuqtadan to’g’ri chiziqgacha masofani topish formulasini keltirib chiqarishga o’xshaganligi uchun uni isbotlashni o’quvchiga qoldiramiz.
10–misol. А(2;3;-1) nuqtadan 7х-6у-6z+42=0 tekislikgacha masofa topilsin.
Yechish. (12.17) formulaga А=7, В=-6, С=-6, D=42, х₁=2, у₁=3, z₁=-1 qiymatlarni qo’ysak izlanaetgan masofa

kelib chiqadi.
d  

11. 7		2		(6)  3  (6)  (1)		42
    7^2  (6)^2  (6)^2

    
    
    
    Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari

 ⁴⁴  4
11

To’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari.

Охуz fazoni va unda berilgan L to’g’ri chiziqni qaraymiz.




1-ta‘rif. To’g’ri chiziqqa parallel vektor shu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb ataladi. Yo’naltiruvchi vektorning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi koeffitsientlari deyiladi. To’g’ri chiziqning bitta М₁(x₁;y₁;z₁) nuqtasi hamda yo’naltiruvchi
S  mi  n j  pk vektori ma‘lum bo’lganda uning tenglamasini keltirib
chiqaramiz. M(x, y,z) to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.

U holda

65–chizma






M₁M  (x  x₁)i  ( y  y₁) j  (z  z₁)k

va S vektorlar parallel bo’ladi.

(65–chizma). Parallel vektorlarni mos koordinatlari proporsional bo’lganligi
sababli

x  x_{1 } y  y_{1 } z  z₁
(13.1)

m n p
tenglamaga ega bo’lamiz. Demak, berilgan L to’g’ri chiziqning istalgan M nuqtasining koordinatlari (13.1) tenglamani qanoatlantiradi. L to’g’ri chiziqda yotmagan hech bir nuqtaning koordinatlari (13.1) tenglamani qanoatlantirmaydi.

Chunki bu holda



M₁M
va S vektorlar parallel bo’lmagani uchun ularning mos

koordinatlari proporsional bo’lmaydi.
Shunday qilib (13.1) tenglama L to’g’ri chiziqning tenglamasi ekan.
U berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi yoki to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari deb ataladi.

To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari.

(13.1) dagi nisbatlarni t orqali belgilaymiz. U holda
x  x_{1  t} m
munosabatdan

x-x₁ = mt, x= x₁ +mt kelib chiqadi. Shuningdek
y  y_{1  t} n
dan y=y₁+nt,
z  z_{1  t} p
dan

z  z₁  pt tengliklarni hosil qilamiz.
Shunday qilib:
^{x  x1  mt,}

^ y  y  nt,
(13.2)


^z  z
1

• 
  pt
  

 1
tengliklarga ega bo’ldik. (13.2) to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari deb ataladi. Bu yerda t parametr deb ataladi va istalgan qiymatlarni qabul qiladi. Parametr t o’zgarganda M(x,y,z) nuqtaning koordinatalari ham o’zgaradi va u to’g’ri chiziq bo’ylab siljiydi.
Agar to’g’ri chiziq parametrik tenglamalari yordamida berilsa ulardan t parametrni yo’qotib to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalarini hosil qilish mumkin.

Izoh.

x  x_{0 }
y  y₀
va ^{x  x0  mt,} tenglamalar mos ravishda 0xy

m n ^{ y  y}

• 
  nt
  

 0

tekislikdagi
M x ; y  nuqtadan o’tuvchi va s^  m; n yo’naltiruvchi vektorga ega

0 0 0
to’g’ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalaridir.

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari.

Ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi

^{A1x  B1y  C1z  D1  0,}
(13.3)

^A x  B y  C z  D  0
 2 2 2 2
ni qaraymiz. Sistemaning har bir tenglamasi tekislikni ifodalaydi. Agar bu tekisliklar parallel bo’lmasa ular qandaydir L to’g’ri chiziq bo’ylab kesishadi. Shuning uchun (13.3) tenglamalar sistemasi to’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari deb ataladi.
Endi to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalariga ko’ra uning umumiy tenglamalarini topish usuli bilan tanishamiz. (13.1) tenglama
 ^{x  x1} _ ^{y  y1} _,

^ m n
(13.1) yoki
^{n(x  x1)  m( y  y1),}
(13.1)

^ y  y z  z
^ p( y  y )  n(z  z )

_ 1 _ 1
 1 1

_^ n p
ko’rinishdagi ikkita chiziqli tenglamalar sistemasiga teng kuchli, chunki (13.1) dagi

uchinchi
x  x_{1 } z  z₁
tenglik (13.1 ^' ) dan kelib chiqadi.

m p
Shuningdek (13.1) tenglama

 ^{x  x1} _ ^{y  y1} _,
 ^{x  x1} _ ^{z  z1} _,

^ m n
_va ^ m p

^ x  x z  z
^ y  y z  z

_ 1 _ 1
_ 1 _ 1

_^ m p
_^ n p

sistemalarning har biriga teng kuchli bo’ladi. (13.1) sistemaning birinchi tenglamasi

x  x_{1 }
m
y  y₁ n
da z ishtirok etmaydi. Demak u 0z o’qqa parallel tekislik tenglamasi.

Shuningdek (13.1) sistemaning ikkinchi tenglamasi
y  y_{1 } z  z₁
da х ishtirok

n p
etmaganligi uchun u 0x o’qqa parallel tekislik tenglamasini ifodalaydi. Bu tekisliklar kesishishi natijasida kesimda to’g’ri chiziq hosil bo’ladi. (13.1) yoki (13.1) tenglamalar sistemasi ana shu to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini ifodalaydi. Ya‘ni (13.1) yoki (13) tenglamalar sistemasi to’g’ri chiziqni ikkita tekisliklarning kesishish chizigi sifatida aniqlaydi.
Endi to’g’ri chiziq koordinata o’qlaridan biriga perpendikulyar bo’lgan holni qaraymiz. Faraz qilaylik to’g’ri chiziq 0x o’qqа perpendikulyar bo’lsin. U holda shu

to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori
S  m, n, p
 ham 0x o’qqа perpendikulyar

bo’lib m=0 bo’ladi. Bu holda (13.1) tenglamalar sistemasi:

^{x  x1  0}
yoki
^{x  x1}

^ py  py  nz  nz
^ py  nz  py

• 
  nz
  

 0.

 1 1  1 1
sistemasiga aylanadi. Bular 0х o’qqа perpendikulyar to’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari. Bu holda ham umumiylikni buzmaslik uchun to’g’ri chiziq tenglamasini kanonik ko’rinishda
x  x_{1 } y  y_{1 } z  z₁
0 n p
kabi yozish mumkin. Shunday qilib to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasidagi kasrlardan qaysi birining maxraji nol bo’lsa uning suratini ham nolga tenglashtirib chiziqli tenglamalar sistemasi hosil qilinar ekan.

Masalan,
x  x_{1 } y  y_{1 } z  z₁
tenglama M₁(x₁;y₁;z₁) nuqtadan o’tuvchi va 0x

0 n p

o’qqa perpendikulyar to’g’ri chiziq tenglamasi,
x  x_{1 } y  y_{1 } z  z₁
esa M₁ (x₁; y₁;

0 0 p
z₁) nuqtadan o’tuvchi va 0z o’qqa parallel to’g’ri chiziq tenglamasi.
Endi to’g’ri chiziqni chizish usuli bilan tanishamiz.
Faraz qilaylik to’g’ri chiziq umumiy tenglamalari yordamida berilgan bo’lib, uni chizish talab etilsin. Ma‘lumki to’g’ri chiziqni chizish uchun unga tegishli ikkita nuqtalarini bilish kifoya. Bu nuqtalarni koordinatlarini (13.3) sistemani yechish orqali topish mumkin. ((13.3) sistemani yechish usuli bilan tanishmiz.).
Endi to’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari (13.3) dan kanonik tenglamalariga o’tish usuli bilan tanishamiz.
To’g’ri chiziqning kanonik tenglamalarini yozish uchun uning bitta M₁(x₁;y₁;z₁) nuqtasini hamda yo’naltiruvchi vektorini bilishimiz lozim. М₁ nuqtaning koordinatalarini (13.3) sistemadagi koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib sistemani yechish orqali topish mumkin.
To’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori sifatida tekisliklarning normal

vektorlari
N₁  A_1:;B₁;C₁
 va
N₂  A₂ ;B₂ ;C₂ 
vektorlarning vektor ko’paytmasi

S  N₁ x N₂ ni olishimiz mumkin (66–chizma).

66–chizma

1. 
   misol. To’g’ri chiziqning
   

^{2x  3y  2z  8  0,}


^x  y  z  9  0
umumiy tenglamasi kanonik ko’rinishga keltirilsin.
Yechish. To’g’ri chiziqning aniq M₁(x₁;y₁;z₁) nuqtasini topish uchun uning umumiy tenglamasiga z=1 qiymatni qo’ysak
^{2x  3y  10  0,}


^x  y 10  0.
sistema hosil bo’ladi. Sistemaning ikkinchi tenglamasini 3 ga ko’paytirib birinchi tenglamasiga hadlab qo’shamiz. U holda 5x-20=0; 5x=20 bo’lib bundan x=4 kelib chiqadi. Oxirgi sistemaning ikkinchi tenglamasidan у=х-10 ga ega bo’lamiz. Bunga х=4 qiymatni qo’ysak у = 4-10 = -6 hosil bo’ladi.
Demak М₁(4; -6; 1) to’g’ri chiziqqa tegishli nuqta ekan. Endi to’g’ri

chiziqning



S  N₁  N₂
yo’naltiruvchi vektorini aniqlaymiz.

Misolda



N₁  2i  3 j  2k,



N₁  i  j  k , bo’lgani uchun

i j k S  N₁  N ₂  2 3 2
1  1  1
bo’ladi. Bu determinatni birinchi satr elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz.

_{S } 3 2
_{i } 2 2
j  ^{2 3} k

1 1
1 1
1 1

yoki ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblasak
S  i  4 j  5k
kelib chiqadi. Demak m= -1, n=4, p= -5, x₁=4, y₁= -6, z=1.
Topilgan qiymatlarni to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari (13.1) ga qo’ysan.
x  4 _ y  6 _ z 1
1 4  5
tenglamalarga ega bo’lamiz. Bu berilgan to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalaridir.