6-amaliyot. Operatorlarning tekis va kuchli yaqinlashishi

1-teorema. Agar to‘la fazo bo‘lsa, u holda fazo ham to‘la, ya’ni Banax fazosi bo‘ladi.
Isbot. ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bo‘lsin, ya’ni da . U holda ixtiyoriy uchun
.
Shuning uchun ixtiyoriy da ketma-ketlik fundamentaldir. to‘la fazo bo‘lgani uchun ketma-ketlik biror elementga yaqinlashadi. Demak, har bir ga ketma-ketlikning limiti bo‘lgan yagona element mos qo‘yilyapti. Bu moslikni orqali belgilaymiz:
.
Endi ekanligini ko‘rsatamiz. Chiziqliligi:

Endi A ning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. Shartga ko‘ra
, .
Demak, .
Bundan sonli ketma-ketlikning fundamentalligi kelib chiqadi. Haqiqiy sonlar fazosi to‘la bo‘lganligi uchun, sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchidir, yaqinlashuvchi ketma-ketlik esa chegaralangan bo‘ladi. Ya’ni shunday son mavjudki, ixtiyoriy uchun

tengsizlik bajariladi. Norma ta’rifidan
.
Bundan esa
.
Bu yerda biz normaning uzluksizligidan foydalandik. Endi ketma-ketlikni chiziqli operatorlar fazosi da ga yaqinlashishini ko‘rsatamiz.
Ixtiyoriy son uchun shunday son mavjudki, barcha va lar uchun

tengsizlik bajariladi. Agar so‘nggi tengsizlikda da limitga o‘tsak va normaning uzluksizligidan foydalansak, ixtiyoriy va lar uchun

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Shuning uchun ixtiyoriy da

Demak, fazodagi norma ma’nosida
.
Shunday qilib, fazo to‘la fazo ekan.
1-natija. chiziqli normalangan fazoga qo‘shma bo‘lgan fazo Banax fazosidir.
Isbot. Kompleks sonlar to‘plami to‘la fazo, shuning uchun 13.1-teoremaga ko‘ra Banax fazosi bo‘ladi.