6-amaliyot. Operatorlarning tekis va kuchli yaqinlashishi

6-amaliyot. Operatorlarning tekis va kuchli yaqinlashishi.

1. 
   Operatorlarning tekis, kuchli va kuchsiz yaqinlashishi
   

Bu maruzada biz chiziqli uzluksiz (chegaralangan) operatorlar fazosi ning to‘laligi haqidagi teoremani isbotlaymiz. Operatorlar ketma-ketligining kuchsiz, kuchli (nuqtali) va tekis (norma bo‘yicha) yaqinlashish ta’riflarini beramiz. Ularni misollarda tahlil qilamiz.
1-ta’rif. Agar operatorlar ketma-ketligi uchun shunday operator mavjud bo‘lib, bo‘lsa, operatorlar ketma-ketligi operatorga norma bo‘yicha yoki tekis yaqinlashadi deyiladi va shaklda belgilanadi.
2-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun bo‘lsa, operatorlar ketma-ketligi operatorga kuchli yoki nuqtali yaqinlashadi deyiladi va shaklda belgilanadi.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy va ixtiyoriy uchun bo‘lsa, operatorlar ketma-ketligi operatorga kuchsiz yoki kuchsiz ma’noda ( ) yaqinlashuvchi deyiladi.
3-ta’rif Hilbert fazosida quyidagicha bo‘ladi.
4-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun bo‘lsa, operatorlar ketma-ketligi operatorga kuchsiz yaqinlashuvchi deyiladi.
Misollar. 1. ,

operatorlar ketma-ketligining kuchli va kuchsiz ma’noda nol operatorga yaqinlashishini teksiring.
Yechish. Hilbert fazosi bo‘lganligi uchun operatorlar ketma-ketligining kuchsiz ma’noda nol operatorga yaqinlashishini 38.4-ta’rifdan foydalanib teksiramiz. Ixtiyoriy uchun
(1)
munosabat o‘rinli. bo‘lganligi uchun

Shunday ekan yaqinlashuvchi qatorning qoldig‘i

da nolga intiladi. Bundan (1) ga ko‘ra ixtiyoriy larda ning da nolga intilishi kelib chiqadi. Demak, operatorlar ketma-ketligi nol operator ga kuchsiz ma’noda yaqinlashar ekan. operatorlar ketma-ketligi nol operatorga kuchli ma’noda yaqinlashmaydi, chunki

2. Quyida berilgan operatorlar ketma-ketligining kuchli va tekis ma’noda birlik va nol operatorlarga yaqinlashishini teksiring.
,