6-amaliyot. Operatorlarning tekis va kuchli yaqinlashishi

Yechish. Ixtiyoriy uchun
.
Chunki , ya’ni
.
Shunday ekan, oxirgi qatorning qoldig‘i

da nolga intiladi. Demak operatorlar ketma-ketligi nol operatorga kuchli ma’noda yaqinlashar ekan. Bundan operatorlar ketma-ketligining birlik operator ga kuchli ma’noda yaqinlashishi kelib chiqadi. Endi operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis ma’noda yaqinlashadimi yoki yo‘qmi, shuni tekshiramiz.
.
Bundan
(2)
ekanligini olamiz. Ikkinchi tomondan, . Bundan
. (3)
(2) va (3) dan ixtiyoriy uchun ga kelamiz. Demak, operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis (norma bo‘yicha) yaqinlashmaydi. Bu yerdan operatorlar ketma-ketligi birlik operator ga tekis yaqinlashmasligi kelib chiqadi.
3. Hilbert fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va

formula bilan aniqlanuvchi operatorlar ketma-ketligining nol operatorga tekis yaqinlashishini teksiring.
Yechish. Ixtiyoriy uchun
. (13.4)
Bundan tengsizlikni olamiz. Agar biz ekanligini hisobga olib, da limitga o‘tsak,
.
Shunday ekan, operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis yaqinlashadi.
Yuqorida kuchsiz yaqinlasuvchi operatorlar ketma-ketligi kuchli ma’noda yaqinlashmasligiga (1-misol) va kuchli ma’noda yaqinlashuvchi operatorlar ketma-ketligi norma bo‘yicha yaqinlashmasligiga (2-misol) misol keltirildi.

2. 
   Chiziqli uzluksiz (chegaralangan) operatorlar fazosining to‘laligi
   

Quyida biz tekis yaqinlashuvchi operatorlar ketma-ketligining kuchli ma’noda ham yaqinlashuvchi bo‘lishini va kuchli ma’noda yaqinlashuvchi operatorlar ketma-ketligining kuchsiz ma’noda ham yaqinlashuvchi bo‘lishini isbotlaymiz.

1-lemma. Agar operatorlar ketma-ketligi biror operatorga tekis yaqinlashsa, u holda operatorlar ketma-ketligi operatorga kuchli ma’noda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. Lemma shartiga ko‘ra . U holda ixtiyoriy uchun
.
sonli tengsizlikka ega bo‘lamiz. Matematik analizdan ma’lumki, tengsizliklarda limitga o‘tish mumkin. Bunga ko‘ra
.
Demak, operatorlar ketma-ketligi operatorga kuchli ma’noda ham yaqinlashar ekan.
Shunga o‘xshash quyidagi tasdiqni, bevosita ta’rifdan foydalanib isbotlash mumkin.
2-lemma. Agar operatorlar ketma-ketligi biror operatorga kuchli ma’noda yaqinlashsa, u holda operatorlar ketma-ketligi operatorga kuchsiz ma’noda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. Lemma shartiga ko‘ra ixtiyoriy uchun
.
U holda ixtiyoriy va uchun

sonli tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu tengsizlikda da limitga o‘tib,

munosabatni olamiz. Demak, operatorlar ketma-ketligi kuchsiz ma’noda ham operatorga yaqinlashar ekan.