5-Вариант Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

= 5 |a|² + 12 a · b - 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов (a + 2i)·(b - 2j),если a = {1; 2} и b = {4; -8}.
Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j:
a = i + 2j
b = 4i - 8j
Тогда используя свойства ортов (i² = 1, j² = 1, i·j = 0)
(a + 2i)·(b - 2j) = (i + 2j + 2i)·(4i - 8j - 2j) = (3i + 2j)·(4i - 10j) = 12i² - 30i·j + 12j·i - 20j² = 12 - 0 + 0 - 20 = -8

2 ) Производная по направлению
Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x, y). Под направлением мы будем понимать любой вектор  на плоскости.

Определение 1. Направляющими косинусами данного направления  называются косинусы углов, которые данное направление образуют с положительными направлениями осей координат. Направляющие косинусы данного направления - .
Направляющие косинусы любого направления в любом пространстве обладают следующим свойством: сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
.
На плоскости имеем
.
.
Если рассмотреть вектор  , координатами которого являются направляющие косинусы данного направления, то этот вектор сонаправлен с вектором  и имеет единичную длину.
Пусть даны точка  и направление  . Переместим точку М₀ вдоль направления  на величину Dl в точку М₁. Тогда функция и аргумент получат соответствующие приращения.

Функция получит приращение, которое называется приращением функции в данном направлении:  ,
Из треугольника М₀ М₁ А: .
Из треугольника М₀ М₁ В: .
.
Определение 2. Предел отношения приращения функции в данном направлении к приращению направления, когда приращение направления стремится к нулю, называется производной функции в данном направлении (если этот предел существует и конечен);
.
Если направление  совпадает с направлением оси ОХ, то производная по направлению совпадает с частной производной по переменной х. Аналогично производная по направлению оси ОУ совпадает с частной производной по переменной у.
Теорема. Производная по направлению равна сумме попарных произведений частных производных в данной точке на направляющие косинусы данного направления.
.
Доказательство. Приращение функции отличается от дифференциала на б.м. функции более высокого порядка чем приращения аргументов.
,
где при  соответственно. Используя соотношения
,  ,
получим:
.
Разделим обе части на 

Перейдем в этом равенстве к пределу при  , при этом 
,
что и требовалось доказать. Доказательство для случая функции n переменных  и направления , заданного направляющими косинусами  проводится аналогично
.
Пример. Найти производную функции  в точке М(1, 2) в направлении  (4, -3).



.