5. Quyidagi masalalar uchun oraliqni ikkiga bo’lish, oddiy iteratsiya, vatarlar va Nyuton usullarida algoritm va dastur tuzing. Ularni tahlil qiling. Dastur kodini yozib natija oling

3.Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli

Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz.

2-teorema. Aytaylik,
1) (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin;
2) (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda  (x)q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= (x) tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechim
t_n= (t_n-1).
formulalar bilan aniqlanadi

Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= (x) tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakillar misolida ko‘rish mumkin.

Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t₀ qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.

Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a)^.f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz. 3)Tenglamani ko‘rinishga keltirib, (x)[a,b] ekanligini hamda [a;b] da mavjudligini tekshiramiz va ni topamiz.
4) Agar q<1 bo‘lsa, ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x₀ uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni  x_n- x_n-1 < shart bajarilguncha davom ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun x_n ni olamiz.

Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x³-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10^-4 aniqlikda toping.

Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan tenglamaga bir necha xil ko’rinishga o’tkazib olamiz.

4. 
   bunda
   
5. 
   bunda,
   
6. 
   bunda, =
   

funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning uchun,

shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.
[0,1] intervaldan olingan x₀ nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x₀=0.5;



Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz
– uzoqlashuvchi iteratsion jarayon
– yaqinlashuvchi iteratsion jarayon

Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat funksiya yaqinlashuvchi ekan.

= ni hisoblaymiz va shartni tekshiramiz. .
=
Bu jarayonni shart bajarilguncha davom ettiramiz.