5. Ma’ruzalar bo’yicha nazariy o’quv materiallar. Сименар машгулотлари

Ostrogradskiy – Gauss teoremasi.
Biror zaryadni o’rab turgan yopiq sirt orqali o’tayotgan kuchlanganlik oqimini aniqlaymiz. Masalan, q zaryadni R radiusni sferik sirt o’rab turgan bo’lsin.
Bu holda butun sferada maydon kuchlanganligi bir xil bo’ladi:
(1)
Bu yerda R – sferaning radiusi. Kuchlanganlik oqimi, ya’ni induksiya potogini hisoblaymiz.
(2)
Endi n ta zaryadni istalgan egri sirt o’rab turgan bo’lsin. Bu holda kuchlanganlik oqimi quyidagicha bo’ladi:
(3)

2-rasm

Demak, elektr zaryadlarini o’rab turgan ixtiyoriy yopiq sirtni yorib o’tuvchi kuchlanganlik oqimi o’rab turilgan zaryadlarning algebratik yig’indisiga proporsional bo’ladi va bu zaryadlarni o’rab turgan sirt kattaligiga bog’liq emas.
Bu Ostrogradskiy-Gauss teoremasi bo’lib, uning yordamida zaryadlangan turli jismlar hosil qilgan maydonlarning kuchlanganligini aniqlash mumkin.
Agar bu zaryadlar vakuumda emas, balki dielektrik singdiruvchanligi ε bo’lgan muhitda joylashgan bo’lsa, (3) formula quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(4)
Elektr maydonida zaryadni ko’chirishga bajarilgan ish. Potensial.
Elektr maydonida har bir zaryadga bu zaryadni harakatlantiruvchi kuch ta’sir qiladi. Q manfiy zaryad maydonida q musbat zaryadni 1 – nuqtadan 2 – nuqtaga ko’chirishda maydon kuchlarining bajargan ishini hisoblaymiz.


3-rasm
Kulon qonuniga asosan
(1)
bu yerda r – zaryadlar orasidagi o’zgaruvchan masofa. Bajarilgan ishni hisoblaymiz.
dA=-Fdr (2)
bu yerda manfiy ishora yaqinlashuvchi zaryadlar uchun dr manfiy bo’lpgani uchun qo’yiladi.
(3)
(4)
bu yerda W – elektr maydonining berilgan nuqtasiga zaryadning potensial energiyasi.
birlik musbat zaryadning potensial energiyasiga teng bo’lgan
(5)
kattalikka elektr maydonining potensiali deyiladi. (5) ni (2) ga qo’yamiz.
(6)
Agar q=+1 bo’lsa
(7) kelib chiqadi
Demak, maydonning ikki nuqtasi orasidagi potensiallar ayirmasi maydon tomonidan birlik musbat zaryadni bir nuqtadan ikkinchisiga ko’chirishga bajaril[gan ishga son jihatdan teng.
Endi q musbat zaryadni maydonning biror nuqtasidan cheksizlikka ko’chiramiz. U holda bo’ladi hamda
(8)
hosil bo’ladi. Demak, elektr maydoni nuqtasining potensiali birlik musbat zaryadni shu nuqtadan cheksizlikka ko’chirishda bajarilgan ishga teng. Potensial volt birligida o’lchanadi.
Barcha nuqtalarida potensiali bir xil bo’lgan sirtga ekvipotensial sirt deyiladi.