5. Ma’ruzalar bo’yicha nazariy o’quv materiallar. Сименар машгулотлари

K inetik energiya. Massasi m va tezligi v bo’lgan 1-jism sirtlari bilan tegib turgan 2-jismga kuch bilan ta’sir etayotgan bo’lsin. dt vaqt davomida kuch quyilgan jism ko’chishga ega bo’ladi (20-rasm), natijada 1-jism 2-jism ustidan ish bajaradi: (60)
1-jism 2-jism ustidan E_k-kinetik energiyaga ega ekanligi tufayli ish bajaradi. Shuning uchun 1-jism tomonidan bajarilgan ish uning kinetik energiyasining kamayishiga teng bo’ladi:
_{ } (61)
(60) ni e’tiborga olib (62)
ni topamiz. Nyutonning uchinchi qonuniga asosan, 2-jism 1-jismga kuch bilan ta’sir etadi, natijada 1-jism dt vaqt davomida quyidagicha o’zgaradi:
_{ } (63)
bu tenglamaning ikkala tomonini ga skalyar ko’paytirib
_{ } (64)
ni olamiz. (62) va (64) ni tenglashtirib dE_k uchun ushbu
_{ } (65)
ifodaga ega bo’lamiz. Skalyar ko’paytmaga ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.
(66)
bu yerda - vektorning vektor yo’nalishidagi proyeksiyasi. -tezlik modulining o’zgarishi ga teng. Shunga ko’ra (65) ifodani quyidagicha yozish mumkin:
_{ } (67)
bu massasi m bo’lgan jismning υ tezlik bilan harakatlanayotgandagi kinetik energiyasidan iborat:
_{ } (68)
(68) ning surat va maxrajini m ga ko’paytirsak va m ko’paytma jism impulsidan iborat deb qarasak, kinetik energiyaning formulasi quyidagi ko’rinishga keladi:
_{ } (69)
Potensial energiya. Potensial energiya – tizim mexanik energiyasining bir qismi bo’lib, jismlarning bir-biriga nisbatan joylashish vaziyati va jismlar o’rtasidagi o’zaro ta’sir xususiyati bilan aniqlanadi. Prujina bilan bog’liq misolni qaraymiz. Vaznsiz va doimiy qattiqlikka ega bo’lgan prujina gorizontal holatda bo’lsin. Uning bir tomoni mahkamlangan, ikkinchi tomoniga esa m massali jism biriktirilgan bo’lib, prujinaga cho’zuvchi kuch ta’sir etayotgan bo’lsin. Vaqtning t=t₀ qiymatida prujina X=X₀ ga cho’zilib (21-rasm) jism tezlikka erishgan bo’lsin. Prujina chuzilishi tufayli xosil bo’lgan elastiklik kuchi
_{ } (70)
Tashqi kuchlarning davom etishi sababli, prujinaning cho’zilishi orta boradi va X.. qiymatga yetadi. X_а – X_о siljishda tashqi kuchlarning bajargan ishini topamiz. Nyutonning ikkinchi qonunidan foydalanib
_{ } (71)
ni yozamiz. Barcha vektorlar X o’qi bo’ylab yo’nalganligi tufayli ifodani skalyar ko’rinishda yozishdan foyodalanamiz:


_{ } (72)
(71) ning ikkala tomonini dx= dtga ko’paytirib, x_о dan x_а chegarada integrallaymiz. Natijada kuch tomonidan bajarilgan to’liq ishni olamiz:
 (73)
Bu vaqtda m massaga ega jismning nafaqat kinetik energiyasi oshadi, balki prujinaning shakli ham o’zgaradi. Bu holda deformatsiya energiyasi (potensial energiya) ning oshishi ikkinchi qo’shiluvchi tomonidan hisobga olinadi. Jismning kinetik energiyasi kabi deformatsiya energiyasi ham prujinaning holat funksiyasidan iborat bo’ladi:
_{ } (74)
bu yerda C x=0 da deformatsiya energiyasini aniqlaydi. Qaralayotgan xususiy holda C=0 bo’ladi.
Ikkinchi misolni keltiramiz. Massasi M bo’lgan jism qiya tekislikda ishqalanishsiz tushayotgan bo’lsin (22-rasm). Jismga F=mg og’irlik kuchi ta’sir etadi. Vaqtning t=0 qiymatida u 1-holatda tezlikka ega bo’lsin. 2-holatda uning tezligi ancha oshib ga yetadi va kinetik energiyaning oshishi
_{ } (75)
Og’irlik kuchining bajargan ishi
_{ } (76)
g a teng bo’ladi.
Ushbu ish jism trayektoriyasining faqat u, boshlang’ich va (y₂) oxirgi nuqtalari ordinatalariga bog’liq bo’lib, uning shakliga bog’liq emas. Agar jismni boshlang’ich holatiga keltirilsa, og’irlik kuchining yopiq kontur bo’ylab bajargan ishi nolga teng va og’irlik kuchi elastiklik kuchi kabi konservativ kuch bo’lib hisoblanadi.
Quyidagi _{ } (77)
y ordinataga ega nuqtada m massali jismning potensial energiyasi deb ataluvchi kattalikni kiritamiz. U vaqtda (76) ni quyidagicha tasavvur etish mumkin.
_{ } (78)
Binobarin,
_{ } (79)
ya’ni kinetik energiyaning oshishi potensial energiyaning kamayishiga teng bo’ladi. (75) dan quyidagi hosil bo’ladi:
_{ } (80)
Bu yerda E-to’liq mexanik energiya. Tizimning to’liq mexanik energiyasi unga tegishli barcha energiyalar yig’indisiga teng. Tajriba ko’rsatadiki, yopiq tizimda energiya qanday turga aylanmasin, uning to’liq energiyasi doimiy bo’lib qoladi, ya’ni E* = const (81)
Demak, energiya yo’qdan bor bo’lmaydi va bordan yo’qolmaydi, balki bir turdan ikkinchisiga aylanadi. Bu narsa energiyaning o’zgarish va saqlanish qonunining umumiy ta’rifi bo’lib hisoblanadi, unda energiyaning umumiy xossasi ifodalanadi: miqdor jihatdan o’zgarmas, sifat jihatdan o’zgaruvchan.