5-ma’ruza. Eng soda ratsional kasrlarni integrallash

R(x) kasrning eng sodda ratsional kasrlardagi (6) chiziqli yoyilmasi to‘liq topilgach, integral bu yoyilma bo‘yicha integralning chiziqlilik xossalari (§1, (3) formula) va eng sodda ratsional kasrlarning integrallaridan foydalanilib hisoblanadi.

Yuqorida aytilganlarni

integralni hisoblashga tatbiq etamiz.
I. Dastlab maxrajning nollarini aniqlaymiz:

Bu yerdan ko‘rinadiki, maxraj uchun x₁=0 ikki karrali, x₂=1 oddiy haqiqiy ildizlar bo‘ladi. Bundan tashqari uchinchi ko‘paytuvchidan maxrajning bir juft oddiy qo‘shma kompleks ildizi ham mavjudligini ko‘ramiz. Shu sababli integral ostidagi ratsional kasr quyidagi ko‘rinishda eng sodda ratsional kasrlarga yoyiladi:
.
II. Bu yoyilmadagi A₁, A₂, A₃, A₄ va B sonlarni noma’lum koeffitsiyentlar usulida topamiz. Buning uchun yoyilmaning o‘ng tomonidagi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. So‘ngra hosil bo‘lgan kasrning suratini yoyilmaning chap tomonidagi kasrning suratiga tenglashtiramiz. Natijada quyidagi tenglikka kelamiz:

.
Bu tenglikdagi qo‘shiluvchilarni x darajalari bo‘yicha guruhlaymiz:
.
Bu tenglik x o‘zgaruvchining barcha qiymatlarida o‘rinli, ya’ni ayniyat bo‘lishi kerak. Bu esa x o‘zgaruvchining mos darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni teng bo‘lishini taqozo etadi. Bundan A₁, A₂, A₃, A₄ va B noma’lumlar uchun quyidagi 5 noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:

Bu sistemani yechib,
A₁=–1 , A₂=–1 , A₃=2/3 , A₄=1/3 , B=2/3