5-ma’ruza. Eng soda ratsional kasrlarni integrallash

5-ma’ruza.
Eng soda ratsional kasrlarni integrallash.


Ratsional kasrlar va ularni eng sodda kasrlarga ajratish. Ratsional kasrlarni integrallash.
Bizga ushbu F xf x(( )) a x0 mn +b xa x1 n−−1 + ++ +... an F x( ) ratsional kasr berilgan
= b x + m 1 ... bm f x( )
0 1
bo‘lsin. Agar kasr suratidagi ko‘phadning darajasi, kasr maxrajidagi ko‘phadning darajasidan kichik bo‘lsa, bunday ratsional kasr to‘g‘ri kasr deyiladi, aks holda noto‘g‘ri kasr deb yuritiladi. Agar noto‘g‘ri kasr berilgan bo‘lsa, biz uni ko‘phadlarni bo‘lish qoidasiga ko‘ra suratini maxrajiga bo‘lib, kasrni biror ko‘phad (kasrning butun qismi) va biror to‘g‘ri kasr yig‘indisi ko‘rinishida ifodalashimiz mumkin:
kasr yig‘indisi ko‘rinishda ifodalaymiz va ushbu to‘g‘ri kasrni eng soda kasrlarga ajratamiz. Bunda quyidagi 4 ta holni ko‘rish mumkin:
a). Kasr maxrajining ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng emas:
f x( ) = (x − x₁)(x − x₂)...(x − x_n)
Birinchi integral jadval integrali, ikkinchi integralni hisoblash uchun kasrning suratida maxrajining hosilasini hosil qilish kerak va kvadrat uchxaddan to‘la kvadrat ajratish kerak.

1-TA’RIF: Ikkita ko‘phad nisbatidan iborat funksiya ratsional kasr yoki ratsional funksiya deyiladi.
Odatda ratsional kasr R(x) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan,

Izoh: Har qanday Q_m(x) ko‘phadni maxraji P₀(x)=1 bo‘lgan ratsional kasr kabi qarash mumkin va shu nuqtai nazardan ko‘phadlar ba’zan butun funksiyalar deb ataladi.
Ma’lumki, m/n oddiy (sonli) kasrda maxraj suratdan katta, ya’ni n>m bo‘lsa, bu kasr to‘g‘ri, n≤m holda esa noto‘g‘ri kasr deyiladi. Bu tushuncha ratsional kasrlar uchun quyidagicha kiritiladi.
2-TA’RIF: Agar (2) ratsional kasrda maxrajning darajasi n>m bo‘lsa, u to‘g‘ri, n≤m holda esa noto‘g‘ri ratsional kasr dеb aytiladi.
Masalan,

to‘g‘ri,

noto‘g‘ri ratsional kasrlar bo‘ladi.
Har qanday noto‘g‘ri m/n (m>n) oddiy kasrni

ko‘rinishda, ya’ni butun son va to‘g‘ri kasr yig‘indisi kabi ifodalash mumkin. Xuddi shunday tasdiq noto‘g‘ri ratsional kasrlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi, ya’ni ular uchun ushbu tenglikni hosil qilish mumkin:
. (3)
Bunda L_m–n(x) va G_r(x) ko‘rsatilgan tartibli ko‘phadlar bo‘ladi.
Demak, har doim noto‘g‘ri ratsional kasrni ko‘phad (butun funksiya) va to‘g‘ri ratsional kasr yig‘indisi kabi ifodalash mumkin.
Masalan,

noto‘g‘ri ratsional kasr suratini maxrajiga ustun usulida bo‘lib, uni

ko‘rinishga keltira olamiz.
Har qanday ko‘phad darajali funksiyalarning algebraik yig‘indisi sifatida oson integrallamadi va uning integrali yana ko‘phaddan iborat, ya’ni elementar funksiya bo‘ladi. Demak, (3) tenglikka asosan, har qanday ratsional kasrni integrallash masalasi to‘g‘ri ratsional kasrni integrallash masalasiga olib keladi. Shu sababli kelgusida faqat to‘g‘ri ratsional kasrlarni integrallash bilan shug‘ullanamiz.

1.