4 мавзу. Аниқ интегралнинг тадбиқлари текис фигураларнинг юзларини ҳисоблаш Айланма жисмларнинг ҳажмини ҳисоблаш

---

77 
 
4 мавзу. АНИҚ ИНТЕГРАЛНИНГ ТАДБИҚЛАРИ 
1. Текис фигураларнинг юзларини ҳисоблаш
2. Айланма жисмларнинг ҳажмини ҳисоблаш 
3. Аниқ интегралнинг иқтисодга тадбиқи 
 
1. Текис фигураларнинг юзларини ҳисоблаш
Номанфий, узлуксиз функциянинг аниқ интеграли унга мос эгри 
чизиқли трапециянинг юзига тенглиги юқорида кўрсатилди. Бу аниқ 
интегрални геометрик маъноси бўлиб, у текис фигураларни юзини 
ҳисоблашга хизмат қилади.
Аввал кўрсатганимиздек, номанфий, узлуксиз
 
x
f
y

функция, 
 
b
a
x
,

абсцисса ўқининг 
 
b
a
,
кесмаси ва 
b
x
a
x


,
тўғри чизиқлар билан 
чегараланган эгри чизиқли трапециянинг юзи қуйидагига тенг
 


b
a
dx
x
f
S
(10.1.1) 
Текис 
фигураларни 
юзини 
ҳисоблашда 
(10.1.1) 
формуладан 
фойдаланамиз. 
Мисол.
Қуйидаги чизиқлар билан чегараланган текис фигуранинг юзини 
топинг
5
6
3
2



x
x
y
,
2
,
1



x
x
ва абсцисса ўқининг кесмаси


2
,
1

бўлган ҳолда.
Ечиш
. Берилган фигура эгри чизиқли трапецияни ташкил этади (6.1 расм 
штрихланган), шунинг учун унинг юзи (10.1.1) формуладан топилади:

 

15
5
3
5
6
3
2
1
2
3
2
1
2










x
x
x
dx
x
x
S
y
-1 0 1 2 
Расм 6.1 
Энди 
 
x
f
y

, 
 
b
a
x
,

манфий қийматни ёки нолга тенг қийматни қабул 
қиладиган ҳолни қараймиз. Бундай функциянинг графиги абсцисса 
5 

---

78 
ўқидан пастда жойлашган бўлади (6.2 расм)
B

0
a
b
x
Расм 6.2 
 
0


b
a
dx
x
f
Ёрдамчи 
 
x
f
y


, 
 
b
a
x
,

функцияни қараймиз, бу функция номанфий 
ва узлуксиз бўлади. Бундан келиб чиқадики, 
b
B
aA
1
1
(расм 6.2), эгри чизиқли 
трапециянинг юзини, яъни
 
x
f
y


функция абсцисса ўқининг
 
b
a
,
кесмаси,
b
x
a
x


,
(
a
<
b
), тўғри чизиқлар билан чегараланган соҳа юзини 
(10.1.1) формула ёрдамида ҳисоблаш мумкин,
 



b
a
dx
x
f
S
(10.1.2) 
Энди 
 
x
f
функция графиги, абсцисса ўқининг 
 
b
a
,
кесмаси, 
b
x
a
x


,
тўғри чизиқлар билан чегараланган 
aABb
(расм 6.2) текис 
фигуранинг юзини қараймиз. Абсцисса ўқига нисбатан
 
x
f
y

функция 
графиги
 
x
f
y


функция графигига симметрик, шунинг учун
aABb
ва 
b
B
aA
1
1
фигуралар тенг, демак улар тенг юзаларга эга бўлади. Шундай қилиб, 
aABb
текис фигуранинг юзи ҳам (10.1.2) формуладан топилади.
Мисол
. Ушбу чизиқлар 
5
x
y

ва абсцисса ўқининг


0
,
1


x
кесмаси 
билан чегараланган текис фигуранинг юзини топинг
 
(6.3-расм). 
A

A
B
 
x
f
y

y
 
x
f
y



---

79 
Ечиш
. 

5
x

y

, 


0
,
1


x
функциянинг графиги 
Ox
ўқининг пастки 
қисмида жойлашган, шунинг учун берилган текис фигуранинг юзини топиш 
учун (10.1.2) формулани тадбиқ этамиз:
6
5
6
5
0
1
5
6
0
1
5








x
dx
x
S
. 
y
5
x
y

-1 0 
-1 
Рис. 6. 3 
Айтайлик, 
 
x
f
y

, 
 
b
a
x
,

функция
 
b
a
,
кесмада узлуксиз бўлиб, 
унинг графиги
 
b
a
,
кесманинг абсцисса ўқини чекли нуқталарда кесиб 
ўтсин. (10.1.1) ва (10.1.2) формулалардан фойдаланиб, 
 
x
f
y

функция,
абсцисса ўқининг 
 
b
a
,
кесмаси, 
b
x
a
x


,
тўғри чизиқлар Билан 
чегараланган текис фигуранинг юзи қуйидаги формула ёрдамида 
ҳисобланади
 


b
a
dx
x
f
S
(10.1.3) 
Мисол
. 
 
x
x
f
sin

функция графиги, 
7
4



x
, 


x
, тўғри чизиқлар ҳамда 
абсцисса ўқи билан чегараланган текис фигуранинг юзини топинг (расм 6.4). 
y
1
x
y
sin

x
7
4


2


---

80 
2


Рис. 6.4 
Ечиш
.
0
sin

x
тенгламани ечиб,
 
x
x
f
sin

функциянинг графиги






,
7
4
кесмани абсцисса ўқини битта 
0

x
нуқтада кесиб ўтишини 
аниқлаймиз.
Шундай қилиб, 






,
7
4
кесмада 
0
sin

x
ва 
 

,
0
кесмада 
0
sin

x
эканлигини аниқлаймиз. (6.2.3) формуладан фойдаланамиз 


7
4
cos
3
cos
cos
sin
sin
sin
0
0
7
4
0
0
7
4
7
4





















x
x
xdx
dx
x
xdx
S
. 
2. Айланма жисмларнинг ҳажмини ҳисоблаш 
Айтайлик, 
 
b
a
,
кесмада номанфий
 
x
f
y

функция берилган бўлсин.
 
b
x
a
x
y
x
f
y




,
,
0
,
чизиқлар билан чегараланган
aABb
эгри чизиқли 
трапециянинг абсцисса ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган жисмни
V
ҳажмини топиш талаб этилади (расм 6.7).
y
 
x
f
y

0 
a
b
x

 
 
Расм 6.7 
0


---

81 
 
 
b
a
,
кесмани
i
n
a
b
a
x
i



, 
n
i
,
0

нуқталар билан
n
та тенг бўлакларга 
бўламиз. Ҳар бир


1
,

i
i
x
x
,
n
i
,
1

, кесмаларда қандайдир

i
c


1
,

i
i
x
x
нуқталарни оламиз. Интеграл йиғиндини тузамиз
 
 
 
 










n
i
i
i
n
n
x
c
f
x
c
f
x
c
f
x
c
f
1
2
2
2
2
2
1
1
2
...




, (10.2.1) 
бунда 
1




i
i
i
x
x
x
. (6.4.1) йиғиндининг ҳар бир ҳади айланма цилиндрнинг 
ҳажмига тенг, умумий йиғинди эса уларнинг ҳар бирига мос зинасимон 
жисмлар ҳажмига тенг. Узлуксиз
 
x
f
, 
 
b
a
x
,

, функция учун (10.2.1) 
интеграл йиғиндининг 


n
лимити мавжуд ва қаралаётган айланма 
жисмнинг ҳажми 
V
га тенг:
 
 








b
a
n
i
i
i
n
dx
x
f
x
c
f
V
2
1
2
lim


. (10.2.2) 
Мисол
. 
2
x
y

параболанинг абсцисса ўқи атрофида айланишидан ҳосил 
бўлган жисмнинг
0

x
дан 
b
x

>0 қисмидаги ҳажмини топинг. 
Ечиш
. (10.2.2) формула бўйича ҳисоблаймиз: 
5
5
5
0
5
0
4
b
x
dx
x
V
b
b







. 
3. Аниқ интегралнинг иқтисодга тадбиқи
Иқтисодда аниқ интегралдан фойдаланишга доир мисоллар кўрамиз.
Вақтнинг 
a
дан 
b
гача оралиғида ишлаб чиқарилган маҳсулот ҳажми 
 
q
 
меҳнат унумдорлиги
 
 
t
f
бўлганда қуйидаги формуладан топилади
 


b
a
dt
t
f
q
. (10.3.1) 
 
Кобба – Дуглас-ишлаб чиқариш функцияси қуйидаги кўринишга эга 
x
x
b
b
b
Z
2
1
2
1
0

, 

Z
умумий маҳсулот миқдори,

1
x
меҳнат сарфи,

2
x
ишлаб чиқариш 
фондининг ҳажми. 
Агар Кобб – Дуглас функциясида меҳнат сарфи вақтга чизиқли боғлиқ 
деб ҳисоблаш мумкин бўлса, капитал харажатлар эса ўзгармас деб 
ҳисобланса, у ҳолда у
  

t
e
t
t
g





кўринишни олади. Уҳолда
T
йилда 
ишлаб чиқарилган маҳсулот миқдори қуйидагини ташкил этади:





T
t
dt
e
t
Q
0



(10.3.2) 
Мисол
1.
 
Агар Кобба-Дуглас функцияси
 
   
t
e
t
t
g
3
1


кўринишга эга 
бўлса, 4 йилда ишлаб чиқарилган маҳсулот ҳажмини топинг.
Ечиш.
(10.3.2) формулага асосан ишлаб чиқарилган маҳсулот ҳажми 
ушбуга тенг 
 



4
0
1
dt
e
t
Q
t


---

82 
Бўлаклаб интеграллашдан фойдаланамиз. Айтайлик,
1


t
u
, 
dt
e
dv
t
3

. У ҳолда
dt
du

,



t
t
e
dt
e
v
3
3
3
1
. 
 















4
0
5
12
4
0
3
12
3
4
0
3
10
53
,
2
2
14
9
1
9
1
1
5
3
1
3
1
3
1
1
e
e
e
dt
e
e
t
Q
t
t
t
.

a
дан 
 
b
гача вақт оралиғида
 
омборга тушадиган мол миқдори
 
(10.3.1), 
формула билан ҳисобланади, агар
 
t
f
- вақт бирлиги ичида омборга 
тушадиган мол миқдори бўлиб, вақт бирлиги ичида электр энергиянинг 
сарфи 
 
t
f
маълум бўлса, у ҳолда электр энергиянинг 
a
дан
b
гача вақт 
оралиғидаги сарфи (10.3.1) формуладан ҳисобланади.
 
Дисконтирлаш. 
t
вақтдан сўнг йиллик процент ставкада, охирги 
жамғармага кўра бошланғич 
P
суммани топиш дисконтирлаш дейилади.
 
 
Бундай турдаги масалаларни пул жамғаришнинг иқтисодий 
самарадорлигини аниқлашда учратиш мумкин.
Айтайлик 
t
йилда олинган охирги сумма
t
K
, ва
K
- 
дисконтирланадиган (бошланғич) сумма бўлсин, буни молиявий таҳлилда 
замонавий сумма ҳам деб юритишади. Агар процентлар оддий бўлса, у ҳолда


t
i
K
K
t


1
, бунда
100
P
i

- солиштирма процент ставка. У ҳолда
t
i
K
K
t


1
. 
Мураккаб процент бўлган ҳолда
 
t
t
i
K
K


1
ва шунинг учун
t
t
i
K
K
)
1
(


.
Ҳар йили тушиб турадиган даромад вақт бўйича ўзгариб турса ва 
 
t
f
функция билан ифодаланса ва солиштирма процент нормаси 
i
га тенг бўлса, 
процент узлуксиз бўлса, бундай ҳолда 
T
вақт ичида дисконтирланган 
K
даромад ушбу формуладан топилади:
 



T
it
dt
e
t
f
K
0
(10.3.3) 
Мисол
.
 
Агар бошланғич маблағ 10 млн. сўмни ташкил этиб ҳар йили 
маблағни 1 млн.сўмдан ошириб борилса, уч йил ичида дисконтирланган 
даромадни
  
8 % йиллик ставкада
 
топинг.
Ечиш
.
 
Маблағни жамғариш функцияси
 
 
t
t
t
f





10
1
10
, кўринишда 
бўлади. У ҳолда (10.3.3) формуладан дисконтирланган маблағ суммаси






3
0
08
,
0
10
dt
e
t
K
t
, 
ташкил этади. Уни интеграллаб
К
=30,5 млн. сўмни топамиз. 
Бу шуни кўрсатадики, ҳар йили 10 дан 13 млн. сўм тушум амалга 
оширилганда уч йилдан кейинги жамғарилган сумма миқдори бир 
маротабали бошланғич 30,5 млн. сўмни қўйишга тенг кучли бўлади, агар 
худди шундай узлуксиз процент ставкада тушум амалга ошса.