4-ma’ruza Sоnlar kеtma-kеtligi va uning limiti. Yaqinlashuvchi kеtma-kеtliklarning хоssalari. Reja

3-misol. Ushbu

ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lishi isbotlansin:

.

Ravshanki,

bo‘lib, tengsizlik barcha bo‘lganda o‘rinli. Bu holda

deyilsa, ( sonidan katta bo‘lmagan uning butun qismi), unda uchun

bo‘ladi. Ta’rifga binoan

.

4-misol. Aytaylik, bo‘lsin. U holda

bo‘lishi isbotlansin.

deylik. Unda va Bernulli tengsizligiga ko‘ra

bo‘lib, da

bo‘ladi. Demak,

tengsizlik barcha

bo‘lganda o‘rinli. Agar

deyilsa, ravshanki, uchun

bo‘ladi. Demak,

5-misol. Ushbu

ketma-ketlikning limiti 1 ga teng bo‘lishi isbotlansin.

Ixtiyoriy son olamiz. So‘ng ushbu

tengsizlikni qaraymiz. Ravshanki,

Unda yuqoridagi tengsizlik

ko‘rinishga keladi. Keyingi tengsizlikdan

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, limit ta’rifidagi sifatida olinsa ( ga ko‘ra topilib), uchun bo‘ladi. Bu esa

bo‘lishini bildiradi.

6-misol. Faraz qilaylik, va bo‘lsin. U holda

bo‘lishi isbotlansin.

Shunday natural sonni olamizki bo‘lsin. Endi bo‘lishini e’tiborga olib, ya’ni deymiz. Unda Bernulli tengsizligiga ko‘ra

bo‘lib, da

bo‘ladi. Bu holda

deyilsa, uchun

bo‘ladi. Demak, .

7-misol. Ushbu

tenglik isbotlansin.

Ravshanki, va uchun

bo‘ladi. Agar bo‘lishini e’tiborga olsak, 6-misolga ko‘ra

ekanini topamiz. Unda ta’rifga ko‘ra 1 soni uchun

bo‘ladi. Shunday qilib, uchun bo‘ladi. Demak, .

8-misol. Ushbu

ketma-ketlikning limiti mavjud emasligi isbotlansin.

Teskarisini faraz qilaylik. Bu ketma-ketlik limitga ega bo‘lsin. Unda ta’rifga binoan,

bo‘ladi.

Ravshanki, juft bo‘lganda toq bo‘lganda , ya’ni bo‘ladi. Bu tengsizliklardan foydalanib topamiz:

.

Bu tengsizlik bo‘lgandagina o‘rinli. Bunday vaziyat sonining ixtiyoriy bo‘lishiga zid. Demak, ketma-ketlik limitga ega emas.

Teorema. [1, p.128, prop. 6.1.7] Agar ketma-ketlik limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.

Teskarisini faraz qilaylik. ketma-ketlik ikkita va limitlarga ega bo‘lsin:



Limitning ta’rifiga ko‘ra





bo‘ladi.

Agar va sonlarining kattasini desak, unda da



bo‘lib,



bo‘ladi.

Ravshanki, .

Demak, da bo‘lib, undan bo‘lishi kelib chiqadi.