4-ma’ruza: Funksiya. Funksiya limiti. Differensial hisob elementlari. Integral hisobning asosiy tushunchalari

Aniq integral

Bundan avvalgi paragrafdagi masalani o’rganishda davom etamiz. kesmalardan har birida bittadan nuqta olib, ularni bilan belgilaymiz,

Bu nuqtalarning har birida funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz. Endi

(3)

yig’indini tuzamiz. Bu yig’indi funksiyaning kesmadagi integral yig’indisi deyiladi. Ixtiyoriy nuqta kesmaga tegishli bo’lganda

va barcha bo’lganligi uchun

demak,

yoki

(4)

Ohirgi tengsizlikning ma’nosi shuki, bo’lganda yuzasi ga teng bo’lgan yuzani chegaralovchi siniq chiziq “ichki chizilgan” va “tashqi chizilgan” siniq chiziqlar orasida joylashgan. yig’indi kesmani kesmalrga bo’lish usuliga va shu kesmalar ichida nuqtalarning tanlanishiga bog’liq.

Endi bilan kesmalar uzunliklaridan eng kattasini belgilaymiz. kesma kesmalarga Shunday bo’lamizki, bo’lsin. Albatta, bunda, kesmalar soni cheksizlikka intiladi. Har bir bo’lish uchun tegishli qiymatlarni tanlab

integral yig’indini tuzish mumkin. Shunday qilib, bo’linishlar ketma-ketligi va unga mos integral yig’indilar ketma-ketligi haqida gapirish mumkin. Shunday bir ketma-ketlikni tanlasakki, bo’lsa, u holda yig’indi limitga intilsin.

A gar kesmani bo’ladigan qilib bo’lganda va nuqtalar ixtiyoriy tanlashganda yig’indi o’sha limitga intilsa, u holda - integral osti funksiya - kesmada integrallanuvchi, limit esa kesmada aniqlangan funksiyaning aniq integrali deyiladi. Uni deb belgilaymiz va



soni integralning quyi limiti, - yuqori limiti deyiladi. kesma integrallash kesmasi, esa integrallash o’zgaruvchisi deyiladi. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u kesmada integrallanuvchidir.

Albatta, agar bo’ladigan qandaydir bo’linishlar ketma-ketligida funksiya va integral yig’indilarni qarasak, u holda bu yig’indilar limitga - funksiyadan olingan aniq integralga intiladi:

Uzulishli funksiyalar orasida integrallanadigan funksiyalar ham, integrallanmaydigan funksiyalar ham bor. Agar integral osti funksiyaning grafigini qursak, u holda bo’lganda

integral son jihatdan ko’rsatilgan egri chiziq , to’g’ri chiziqlar va o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng.

Shuning uchun, agar egri chiziq , to’g’ri chiziqlar va o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini hisoblash kerak bo’lsa, u holda bu yuza

(5)

formula bilan hisoblanadi.

1-izox. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, aniq integral faqat funksiyaning ko’rinishiga va integrallash chegaralariga bog’liq, lekin integral o’zgaruvchisiga bog’liq emas. Shuning uchun aniq integralning qiymatini o’zgartirmagan holda harfining o’rniga ixtiyoriy boshqa xarfni olishimiz mukin:

Aniq integral tushunchasini kiritayotganda bu deb faraz qildik. bo’lgan holda ta’rifga ko’ra

Masalan,

Endi bo’lganda ta’rifga ko’ra, ixtiyoriy funksiya uchun

(6)

tenglik o’rinli.

Bu geometrik nuqtai nazardan ham tabiiy. Haqiqatan ham egri chiziqli trapetsiya asosi nolga teng uzunlikka ega, demak, uning yuzasi nolga teng.