4-ma’ruza: Funksiya. Funksiya limiti. Differensial hisob elementlari. Integral hisobning asosiy tushunchalari

Birinchi ajoyib limit

(8)

bo’lishini ko’rsataylik. Buning uchun funksiyani qaraymiz. Bu funksiya 0 nuqtada aniqlanmagan, ammo, uning yaqin atrofida mavjud va juft funksiyadir. Demak, x>0 holni qarash yetarlidir. Undan tashqari, x0 ekanligidan deb olsak bo’ladi.

Dastlab, ekanligini isbotlaylik. Buning uchun birlik doira olib (3-rasm), x markaziy burchak oraliqda bo’lsin deylik. U vaqtda AB yoy uzunligi radianlarda ifodalangan x markaziy burchak o’lchoviga tengdir. 3-rasmdan ko’rinadiki, BD kesma sinx ga, AC esa tgx ga teng bo’lib, o’rinlidir. Bundan

kelib chiqadi. Bu tengsizliklardan va limitning mavjudligi haqidagi ikkinchi teoremadan ni olamiz. Funksiyaning toqlik xossasiga ko’ra va olinganlar asosida ga ega bo’lamiz.

Endi,

ekanligini e’tiborga olsak,

kelib chiqadi.

3-rasmdan OAB, OAC va OAB

sektor yuzlari uchun

o’rinli ekanligini ko’ramiz.

Yuqoridagi tengsizliklarda bularni va ni hisobga olsak,

ni, bundan

ni olamiz va, nihoyat,

ga ega bo’lamiz. Oxirgida ni hisobga olib dagi limitga o’tsak,

kelib chiqadi. Funksiyaning juftligidan

ekanligi ham kelib chiqadi. Bulardan birinchi ajoyib limit deb ataluvchi (8) ning o’rinli ekanligiga kelamiz.

Misollar.