4-bob. Statistik ko‘rsatkichlar. O‘rtacha miqdorlar va variatsiya ko‘rsatkichlari

Qисqартирилган частоталар билан ўртачани hисоблаш

Интервални ўртача qиймати (х)	Сотувчилар сони (f)
120	12	1,2	144
160	20	2,0	320
200	24	2,4	480
240	14	1,4	336
280	10	1,0	280
Жами:	80	8,0	1560

5.5-жадвалдан келтирилган маълумотлар асосида ўртача hисоблаймиз:

7. Вариантлар билан ўртача арифметик ўртасидаги тафовут йиg‘индиси доимо нолга тенг.

Бу хоссани hам 5.6-жадвалда текшириб кўрамиз.

5.6-жадвал

Текшириш учун бажарилган hисоб-китоб

Интервални ўртача qиймати (х)	Сотувчилар сони (f)
120	12	- 75	- 900
160	20	- 35	- 700
200	24	5	120
240	14	45	630
280	10	85	850
Жами:	80	-	-1600 +1600

Демак, . Бу хусусият ўртача арифметик миqдорларнинг тўg‘ри ёки нотўg‘ри hисобланганлигини текшириш учун зарурдир.

Юqорида кўриб чиqилган ўртача арифметикни хоссаларини ўрганишдан маqсад нима деган савол туg‘илиши мумкин. Маqсад - hисоб-китобларни осонлаштириш, тезлаштириш ва текшириш.

Вариацион qаторларда ўртачани hисоблашнинг пайт(момент) усули. Бу усулда ўртача арифметикни хоссаларидан фойдаланиб ўртача миqдорлар hисобланади. Юqорида келтирилган мисол раqамлари асосида ўртачани пайт усули билан hисоблашни кўриб чиqамиз (5.7-жадвал).
5.7-жадвал

Пайт усули билан ўртачани hисоблаш

Х		F	x1f
120	- 2	12	- 24
160	- 1	20	- 20
200	0	24	0
240	1	14	14
280	2	10	20
Жами:	-	80

Бу иш qуйидаги босqичларда бажарилади. Биринчи навбатда qаторнинг hар бир вариантидан доимий сон ажратилади. Доимий сон сифатида бизни миcолимизда 200 ишлатилиши мумкин. Одатда доимий сон деб энг кўп учрайдиган вариант qабул qилинади. Иккинчидан варианталар бир доимий сонга бўлинади. Одатда бу сон ўрнида гуруh оралиg‘и олинади (бизнинг мисолда 40). х₁ – биринчи вариант учун – 2га тенг ва h.к. Нолга тенг деб олинган вариантдан юqорида манфий, пастда мусбат натурал сонлар пайдо бўлади. Шу янги вариантлар асосида hисобланган ўртачани (m₁) биринчи даражали пайт деб атлади ва qуйидаги формула билан аниqланади:

Энди, ўртача арифметикни hисоблаш учун, биринчи даражали пайт (m₁) миqдорини ўша гуруh оралиq миqдорига кўпайтириб, келиб чиqqан натижага ажратилган доимий сон qўшилади

=i∙m+A=40∙(-0,125)+200=195 минг сўм.
Ўртача арифметик миqдорни пайт усулида hисоблаш вариацион qатор тенг интервалли бўлса ишни анча осонлаштиради.

Ўртача гармоник. Статистикада ўртача арифметик билан бир qаторда ўртача гармоник hам кенг qўлланилади.

Ўртача гармоник– бу ўртача арифметик миqдорнинг тескари , яъни z=-1 бўлган даражасига тенгдир.

Ўртача гармоник миqдор hам ўртача арифметик миqдорга ўхшаб оддий ва тортилган шаклларига эга.

Агарда вариантлар ва уларнинг частоталари кўпайтмасининг йиg‘индиси бир хил бўлса, оддий ўртача гармоник формуласи qўлланилади.

Масалан. Иккита машина (жигули ва нексия) Тошкентдан Самарqандгача бўлган масофани (260 км) босиб ўтди. Жигулининг тезлиги соатига - 60 км, Нексияники – 80 км. Иккала машина учун ўртача тезлик (км/cоатда) hисоблансин.

Агарда оддий ўртача арифметик миqдор формуласи билан аниqласак, ўртача тезлик 70 км/соат [(60+80):2]. Бу нотўg‘ри. Сабаби ўртача тезликни аниqлаш учун мантиqий таhлил qилмадик. Мантиq бўйича ўртача тезликни аниqлашда босилган масофани шу масофани босиб ўтиш учун сарфланган ваqтга бўлиш зарур.

Бизнинг мисолимизда иккала машинада босилган умумий масофа 520 (260+260) км. Биринчи машина 260 км масофани босиб ўтиш учун 4,33 соат ваqт сарфлаган бўлса, иккинчи машина – 3,25. Иккаласи биргаликда 7,58 соат ваqт сарфланган. У hолда ўртача тезлик тенг:

Худди шундай натижани ўртача гармоник миqдорнинг оддий формуласини qўллаш билан hам олинади:

Берилган ёки келтирилган вариацион qаторларда частоталар hар бир вариант бўйича номаълум бўлиб, уларнинг ўрнига вариантлар ва частоталарнинг кўпайтмаси берилган бўлса, ўртача миqдорни hисоблашда гармоник тортилган формуладан фойдаланилади.

Мисол учун, ўртача баhо qуйидаги нисбат билан ифодаланади:

5.8-жадвал

Деhqон бозорларида “A” маhсулотнинг баhоси ва сотилган qиймати

Бозорлар	Бир бирлик маhсулотнинг баhоси, сўм (х)	Сотилган суммаси, сўм (М)
I	200	40000
II	300	30000

Мисолимизда ўртача баhони аниqлаш учун ўртача оддий ва тортилган арифметикни qўллаб бўлмайди, чунки белгининг умумий qиймати берилган бўлиб, унинг частоталари номаълум. Частотани hисоблаш учун:

бу ердан
Энди ўртача миqдор (баhо)ни qуйидаги тортилган ўртача гармоник формуласи билан hисоблаш мумкин,:

Агарда оддий арифметикни qўллаб ўртача баhони аниqлаганимизда, у 250 сўмни ташкил qилар эди.

Статистикада ўртача геометрик, ўртача хронологик миqдорлар hам кенг qўлланилади. Уларни hисоблаш усуллари динамика qаторлари мавзусида кўриб чиqилади.
5.3. Тузилмавий ўртачалар
Тўплам тузилишини тавсифлаш учун статистикада махсус кўрсаткичлар qўлланилади. Уларни таркибий ўртачалар дейишади. Мода ва медиана шулар жумласидандир.

Мода деганда тўпламда белгининг энг кўп учрайдиган миqдорига айтилади. Иш hаqи модаси дейилганда энг кўп ишловчилар оладиган меhнат hаqи, эркаклар пойафзали - бўйича энг кўп учрайдиган размер тушунилади. Моданинг ўртача арифметик, гармоник ва hатто медианадан фарqи, у hамма ваqт мавhум миqдорни эмас, балки аниq миqдорни ифодалайди. Мода, таqсимот qаторини охирги hадларига боg‘ланиб qолмаган. Шунинг учун hам тенг бўлмаган таqсимланишларда ўртача арифметикни тўлдирувчиси бўлиб hисобланади.

Шундай qилиб, мода тўпламда энг кўп учрайдиган частота ва типик qийматдир. У бозор иqтисодиёти шароитида кенг qўлланиладиган муhим кўрсаткичлардан бири. Масалан, тижорат амалиётида аhоли эhтиёжини ўрганишда ёки энг харидоргир товарларни аниqлашда бу кўрсаткич асqотади.

Дискрет qаторларда модани аниqлаш qийин иш эмас. Уларда энг кўп учрайдиган варианти мода hисобланади.

Мисол. Дўконда сотилган эркаклар костюмлари ўлчами бўйича qуйидагича таqсимланган:

Костюм размери.	44	46	48	50	52	54	56	58	60
Сотилган сони	14	63	191	210	300	197	48	21	9

Кўриниб турибдики, эркакларнинг аксарият qисми 52 ўлчамли костюм харид qилишар экан.

Агарда иккита ўлчам бир хил учрашиш тезлиги (частота)га эга бўлса, бундай таqсимланиш бимодал деб юритилади.

Модани интервалли вариацион qаторларда qуйидаги махсус формула билан аниqлаймиз.


бу ерда: – мода оралиg‘ининг qуйи чегараси; - мода оралиg‘ининг катталиги (миqдори); - модани ўз ичига оладиган оралиqнинг вазни; – мода оралиg‘идан олдинги оралиq частотаси; - мода оралиg‘идан кейинги оралиq частотаси.

5.2-жадвал маълумотлари асосида модани hисоблашни кўриб чиqамиз.

Медиана дейилганда тўпламни тенг иккига бўлувчи варианта тушунилади. Тўплам бирликларини ярмиси медианадан юqорида, ярмиси эса пастда жойлашади.

Дискрет вариацион qаторларда медианани аниqлаш учун частоталар йиg‘индиси иккига бўлиниб, олинган натижага 1/2 qўшилади. Модани аниqлаган мисолимизда медиана 527 га тенг [(1053:2)+0,5]. Демак, 1053 бирликни тенг иккига бўлувчи варианта 527 га тўg‘ри келади. 527 вариантанинг моhияти qанаqа? Бу саволга жавоб бериш учун частоталарни qўшиш керак, яъни 14+63+191+210+300.

Демак, 527 вариант 52 размерга тўg‘ри келяпти. Бизни мисолимизда мода ва медиана мос бўлиб, бир вариантага жойлашган.

Интервалли вариацион qаторлар учун медиана qуйидаги формула билан hисобланади:

бу ерда: Х_me –медиана интервалининг бошланg‘ич qиймати; i_me- медиана интервалининг миqдори; f- частоталар йиg‘индиси; S_me-1 – медиана интервалигача бўлган частоталар йиg‘индиси; f_me- медиана интервалининг частотаси. Юqоридаги мисолимиз маълумотлари (5.2-жадвал) асосида медианани hисоблаймиз.

Демак, бизнинг мисолимизда ўртача арифметик 195 минг сўмга, мода эса – 191,43 , медиана – 193,33 минг сўмга тенг бўлди. Бу учала миqдорнинг нисбати таqсимланиш йўналиши ва ассиметрия даражасини кўрсатади.

Квартили ва децили. Вариацион qаторлар таркибини тавсифлашда мода ва медианадан ташqари квартили, децили ва процентили hам ишлатилади.

Тўртдан бир qисмига ва qатор бошланишини тўртдан уч qисми масофасига тўg‘ри келадиган миqдорлар квартили, ўндан бир qисми – децили, юздан бир qисми – процентили дейилади.

Бизни мисолимиз бўйича биринчи ва учинчи квартилларини hисоблашни кўриб чиqайлик:

Биринчи квартили:

Учинчи квартилни аниqлаймиз. Частоталарнинг тўртдан уч qисми 60 га тенг _. 60 эса 220-226 варианта оралиqда жойлашган. Демак, 3-чи квартили:

Учинчи квартили 233,43 минг сўмга тенг.

Бу hисобланган кўрсаткичлар шундан далолат бермоqдаки, сотувчиларнинг 1/4 qисми 156 минг сўмгача, 3/4 qисми - 233,43 минг сўмгача унумдорликка эга.
Mavzu: VARIATSIYA KO‘RSATKICHLARI
5.1. Variatsiya ko‘rsatkichlari va dispersion tahlil asoslari

YUqorida ta’kidlanganidek, o‘rtacha miqdorlar mavhum miqdorlardir. Ular o‘rganilayotgan to‘plamga umumlashtirilgan holda baho beradilar xolos, lekin uning birliklarini tuzilishini, ularni bir-biridan farqini ko‘rsatmaydilar, aksincha bu holat o‘rtachalarda yopilib ketadi. To‘plam birliklarining o‘rtacha atrofida ayrim guruh va guruhchalarga bo‘linishini, ular o‘rtachadan qanday masofada joylashganligini, ularning ichidagi tebranishlarni o‘rtacha miqdorlar ifodalab bera olmaydi. Quyidagi ikki o‘rtachani olaylik: Ikkala o‘rtacha teng. Lekin ular qanday birliklar asosida hisoblanganligi bizga noma’lum. Misol uchun aytaylik, uchta student quyidagicha paxta tergan: birinchisi 89 kg; ikkinchisi-90; uchinchi-91. O‘rtacha terilgan paxtani hisoblasak, u 90 ga [(89+90+91):3] teng. Ikkita studentdan bittasi 19 kg, ikkinchisi 161 kg paxta tergan. O‘rtacha bu erda ham 90 ga [(19+161):2] teng.

Olingan natijalardan ko‘rinib turibdiki, hodisaga to‘g‘ri baho bermoqda, ya’ni birliklarning o‘rtachadan farqi juda oz, - esa birinchining aksi, - o‘rtacha orqali biz o‘rtachalar hodisaning ichki tuzilishini haqiqatdan ham bekitishiga guvoh bo‘ldik.

Statistikaning muhim vazifalaridan biri faqatgina umumlashtiruvchi ko‘rsatkichlarni (o‘rtachalarni) hisoblash bilan cheklanmasdan, balki to‘plam birliklarining o‘rtachadan tafovutini, farqini, chetlanishini ham o‘rganishdir. Bu ishni statistika variatsiya ko‘rsatkichlari yordamida bajaradi.

“Variatsiya” so‘zi lotincha “variatio” so‘zidan kelib chiqqan bo‘lib, o‘zgarish, farq, tebranishni bildiradi. Ammo har qanday farq ham variatsiya bo‘lavermaydi.

Statistikada variatsiya deganda, o‘zaro qarama-qarshi omillar ta’sirida bo‘lgan, bir turli birlikdan tashkil topgan miqdoriy o‘zgarishlarga tushuniladi. O‘rganilayotgan belgining tasodifiy va surunkali (sistematik) variatsiyalari bo‘lishi mumkin.

Tasodifiy variatsiyani boshqarib bo‘lmaydi. Surunkali variatsiyaga qisman bo‘lsada, ta’sir o‘tkazish mumkin. Surunkali variatsiyani tahlil qilish asosida o‘rganilayotgan belgida o‘zgarishni unga ta’sir qiluvchi omillarga qanchalik bog‘liqligini baholash mumkin. Masalan, ajratilgan to‘plam birliklari variatsiyasining kuchi va xarakterini o‘rganishda, ular miqdoriy, ayrim vaqtlarda sifat tomondan qanchalik turdosh ekanligini va shu vaqtning o‘zida aniqlangan o‘rtacha ular uchun xarakterli ekanligini statistik baholash mumkin.

SHunday qilib, o‘rtalashtirilgan birliklar (x_i) o‘rtachadan har xil farqda (uzoqlikda, yaqinlikda) bo‘ladi va ular variatsiyaning turli ko‘rsatkichlari orqali baholanadi. (5.1-sxema)

Keltirilgan sxemadan ko‘rinib turibdiki, tafovutni baholashda bir qancha ko‘rsatkichlardan foydalaniladi. SHulardan biri va eng oddiysi variatsion kenglikdir. Variatsion kenglik (R) deganda belgining eng katta va kichik hadlari orasidagi farq (tafovut) tushuniladi va u quyidagicha aniqlanadi:

R=X_maxX_min,

bu erda: R- variatsion kenglik; X_max - belgining eng katta darajasi;

X_min – belgining eng kichik darajasi.

Variatsion kenglik ayrim kamchiliklarga esa:

birinchidan,

birinchidan, ikki chetki hadga asoslangan, ular tasodifiy bo‘lishi mumkin; ikkinchidan - hadlar o‘rtacha bilan taqqoslanmaydi. SHu sabablar orqali, bu ko‘rsatkichdan qatorning hadlari bir-biridan unchalik katta miqdorda farq qilmaydigan sharoitlarda foydalanish mumkin.

O‘rtacha chiziqli chetlanish ( ) variantalar bilan o‘rtacha farqining variantalar soniga nisbatidir.

Oddiy qatorlar uchun u quyidagi formula bilan hisoblanadi:

Tortilgan qatorlar uchun u quyidagi formula bilan hisoblanadi:

5.1-sxema. Variatsiya ko‘rsatkichlarining tuzilish tartibi
Biz yuqorida, o‘rtacha arifmetikning xossalarini ko‘rib chiqqanimizda ekanligiga ishonch hosil qilgan edik. Lekin bu erda shu qoidaga rioya qilinmasdan, mutlaq qiymatlarning yig‘indisi olinadi. Natijada umumiy olingan yig‘indi iqtisodiy, real ma’noga ega bo‘lmaydi, shu sababli bu ko‘rsatkich amaliyotda deyarli qo‘llanilmaydi va uning o‘rniga dispersiya ishlatiladi.

O‘rtacha kvadrat chetlanish yoki dispersiya ( ) deb variantlar bilan o‘rtachani farqi kvadratlari yig‘indisining variantlar soni nisbatiga aytiladi.

Dispersiyani quyidagi formulalar bilan hisoblaymiz:

Oddiy qatorlar uchun

Tortilgan qatorlar uchun

Bu erda ham o‘rtacha arifmetikning xossalari buzildi, ya’ni ( ) kvadratga ko‘tarilib, ikki baravarga ko‘paytirildi. Ularni o‘z holiga olib kelish uchun kvadrat ildizdan chiqariladi, ya’ni o‘rtacha kvadratik chetlanish hisoblaniladi.

O‘rtacha kvadratik chetlanish ( ) deb o‘rtacha kvadrat chetlanishning kvadrat ildizdan chiqarilgan miqdoriga aytiladi va quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
Oddiy qatorlar uchun
Tortilgan qatorlar uchun

YUqorida ko‘rib chiqilgan variatsiya ko‘rsatkichlari o‘rganilayotgan hodisa va voqealar qanday birliklarda (so‘m, tonna, metr va h.k.) ifodalangan bo‘lsa, ular ham shu birliklarda ifodalanadi. Bu esa turli xildagi hodisa va voqealar uchun hisoblangan ko‘rsatkichlarni taqqoslashga imkon bermaydi. Ushbu muammo statistikada variatsiya koeffitsientini hisoblash bilan hal etiladi.

Variatsiya koeffitsienti (V) deganda, o‘rtacha kvadratik tafovutning ( ) o‘rtacha miqdorga ( ) nisbati tushuniladi. Bu ko‘rsatkich foizda ifodalanadi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:

5.9-jadval ma’lumotlari asosida variatsiya ko‘rsatkichlarini hisoblaymiz.

5.9-jadval