3D modellashtirish va raqamli animatsiya

 
 
Vektorlar algebrasi 

---

91 
Bu yerda mavzudan biroz chekinish o‘rinlidir. Vektorlar 
algebrasi elementlarini ko‘ramiz. Vektor deb fazoning qandaydir A 
va B nuqtalarini birlashtiruvchi yo‘nalishga ega to‘g‘ri chiziq 
kesmasiga aytiladi. Vektor yo‘nalishi – boshlang‘ich
A 
nuqtadan 
oxirgi 
V
nuqtaga qarab yo‘nilad. 
radius vektor – bu boshlang‘ich 
nuqtasi koordinatalar boshida bo‘lgan vektordir. Radius vektor 
koordinatalari vektorning oxirgi nuqtasi koordinatalari bo‘ladi. 
Radius vektor uznligi modul deb ham ataladi, /
/ kabi belgilanadi 
va quyidagicha hisoblanadi:
/
/
√ 
. 
Birlik vektor – bu uzunligi birga teng bo‘lgan vektor. Vektorlar 
ustundagi asosiy amallarini sanab o‘taylik. 
1. Vektorni songa ko‘paytirish 
⃗ ⃗⃗
Natija 
⃗
vektor 
bo‘lib, uning uzunligi 
⃗⃗
vektor uzunligidan 
marta katta bo‘ladi. 
Agarda 
musbat bo‘lsa, u holda, 
⃗ ⃗⃗
-ust 
tushadi.
bo‘lganda 
⃗
vektor 
⃗⃗
vektorga teskari yo‘nalishda 
bo‘ladi. Agarda 
⃗⃗
radius vektor bo‘lsa, u holda, natijaviy vektorning 
koordinatalari 
(
)
bo‘dadi. Yani 
⃗⃗
vektorning har 
bir koordinatasi 
soniga ko‘paytiriladi. 
2. Vektorlarni qo‘shish 
⃗ ⃗ ⃗⃗
. Qo‘ish natijasida hosil 
bo‘lgan vektor – bu tomonlari 
⃗ ⃗⃗
vektordan hosil qilingan 
parallelogram diagonallaridan biri bilan mos tushuvchi vektordir.
Barcha uchta vektor bitta tekislikda yotadi. 
⃗ ⃗⃗
bo‘lganda natijaviy vektor koordinatalari quyidagicha aniqlanadi:
Ikki vektor ayilmasini 
⃗ ⃗ ⃗⃗ 
qo‘shish amali orqali 
⃗ ⃗
( ⃗⃗)
aniqlash mumkin. Ayirma vektor 4.9-rasmda tasvirlangan 
parallelogramning boshqa diagonaliga mos tushadi. Radius 
vektorlar ayrmasi bo‘lganda quyidagicha bo‘ladi:

---

92 
4.9-rasm. Ayirma vector. 
3. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi 
⃗ ⃗⃗
Skalyar ko‘paytirish amali natijasida ikki vektor uzunliklari va 
ular orasidagi burchak kosinus ko‘paytmalarga teng (skalyar) son 
hosil bo‘ladi: 
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ | ⃗| | ⃗⃗|
Agarda 
⃗
va 
⃗⃗
vektorlar radius vektorlar bo‘lsa, u holda 
natijani quyidagicha hisoblash mumkin: 
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
4. Vektorlarning vektor ko‘paytmasi 
⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
va 
⃗⃗
vektorlarni vektor ko‘paytirish natijasida tomonlari 
⃗
va 
⃗⃗
vektorlarga qurilgan parallelogram tekisligiga perpendikulyar 
bo‘lgan vektor hosil bo‘ladi,bu vektorning uzunligi parallelogram 
yuzasiga teng (4.10-rasm). 
| ⃗| | ⃗| | ⃗⃗|
⃗
va 
⃗⃗
vektorlar radius vektorlar bo‘lsa, natijaviy 
⃗
vektorning 
koordinatalari quyidagicha hisoblanadi:

---

93 
4.10-rasm. Vektor ko‘paytma. 
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
bo‘lishligiga e’tibor qaratish lozim bo‘ladi. 
Boshqacha aytganda, ko‘paytuvchilar tartibi natijaviy vektor 
yo‘nalishini belgilaydi. Bunga yuqoridagi koordinatalar formulasida 
⃗
va 
⃗⃗
vektorlar koordinatalarining o‘rnini almashtirish orqali 
ishonch hosil qilish mumkin. 
Bundan tashqari, 
⃗ ⃗⃗
amal natijasidagi vektorning yo‘nalishi 
koordinatalar o‘qining olinishiga ham bog‘liq bo‘ladi (4.10-rasmda 
o‘ng koordinatalar sistemasi keltirilgan). 
o‘qini 
, 
o‘qini 
deb atab (chap koordinatalar sistemasini 
hosil qilish mumkin) va 
⃗
va 
⃗⃗
vektorlarning vektor ko‘paytmasi 
formulasida 
va 
koordinatalar o‘rinlarini mos ravishda 
almashtirib olaylik. Koordinatalarni bu kabi almashtirishda 
⃗
vektor 
ishorasini o‘zgartiradi, ya’ni vektor qarama-qarshi yo‘nalishda 
bo‘ladi.