йўна
47
kerak bo‘ladi. Amaliyotda sirtlarni bu kabi chegaralashda odatda,
ular parametrlarining chegaraviy qiymatlaridan foydalaniladi.
Ikkinchi tartibli sirtlarni parametrik
ifodalash uchun har xil
parametrlar tanlanishi mumkin. Har qanday holatda ham joriy nuqta
koordinatalari biror bir egri chiziqli koordinatalar tizimida
hisoblanadi. Egri chiziqli koordinatalar tizimi koordinatalari to‘ri
sirtda yotadi va ikkinchi tartibli sirtlar uchun yopiq koordinatalar
chizig‘ini hosil qiladi. Shu sababli sirtlarni ifodalashda dekart
koordinatalar tizimiga o‘tilganda parametrlarning trigonometrik
funksiyalari hosil bo‘ladi. Kompyuterda
trigonometrik funksiya
qiymatlarini hisoblash ancha vaqt talab qiladigan amallar
hisoblanadi, shu sababli grafikada undan qochishga harakat qilinadi,
misol uchun orttirmalar bilan ishlashdan foydalanib [15]. Bu yerda
sirtning joriy nuqtasi biror bir tartibda hisoblanadi va ketma-ket
hisoblangan ikki nuqta qo‘shni bo‘ladi. Bu keyingi nuqtaning
koordinatalari oldingi nuqtaning funksiyasi sifatida qarashga imkon
beradi. Xususan, trigonometrik funksiyaning
navbatdagi qiymati
(
)
ni argumentning oldingi qiymati
va
uning ortirmasi
(qadam) orqali topish mumkin:
(
)
(
)
Tanlangan
qadamda
qiymatlar o‘zgarmas
bo‘ladi va trigonometrik funksiyaning keyingi qiymatini hisoblash
ikkita amalni bajarishga keltiriladi, ya’ni bu o‘zgarmaslarni
oldingi qiymatlariga ko‘paytirish va ko‘paytmalarni
qo‘shishga keltiriladi. Trigonometrik funksiyalarning boshlang‘ich
qiymatlari ma’lum:
Agarda kvadriklar parametrik shaklda ifodalangan bo‘lsa, u
holda, sirt normallarini aniqlash murakkablashadi. Ma’lumki, egri
chiziqli sirtlarni yoritilganligini topish uchun uning har bir nuqtasi
normali yo‘nalishini aniqlash talab qilinadi.
Parametrik berilgan
sirtning
i-
chi nuqtasidan o‘tkazilgan normal vektorning
komponentalari umuman olganda kasr ratsional funksiya bo‘ladi va
kuzatuvchi koordinatalar tizimida quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
48
|
(
)
(
)
(
)
(
)
|
|
(
)
(
)
(
)
(
)
|
|
(
)
(
)
(
)
(
)
|
(3.1)
bu yerda,
u, v
lar parametrlar, misol uchun
Sirtni koordinata o‘qlari
u
yoki
v
bo‘ylab yoyishda har bir
determinantda ikkitadan xususiy hosilalar o‘zgarmas bo‘ladi, biroq
komponentalarni hisoblash sirtning har bir nuqtasida bir
nechta ko‘paytirish amalini bajarishni talab
qiladi va bu real vaqt
rejimida kerak bo‘lmagan vaqt sarfini keltirib chiqaradi. Agarda
normal yo‘nalishi sirtning matematik ifodalanish shakliga emas
balki sirtni o‘zining ko‘rinishiga bog‘liq ekanligi hisobga olinsa
masalani soddalashtirish mumkin bo‘ladi. U holda normalning
koordinatalarini topish uchun kvadrikni
ifodalashning umumiy
shaklidan foydalanish mumkin bo‘ladi:
( )
( )
( )
Misol uchun, sferada normalning koordinatalari proporsional ikkiga
bo‘lingandan so‘ng quyidagi ko‘rinishni oladi:
Qaralayotgan kvadrikning o‘ziga xosligi hech bo‘lmaganda
bitta koordinata tekisligida (yoki unga parallel bo‘lgan tekislikda)
yopiq qirqimga egaligidir. Bu o‘ziga xoslik kvadrikni bitta shaklda
tasvirlashga keltirishga va ularni yopiq koordinalar chiziqlari
bo‘ylab umumiy holda – ellipslarga yoyishga imkon beradi. Yoyish
deganda koordinata tizimlari argumentlarini skanerlash jarayonida
sirt nuqtalarini ketma-ket hisoblash tushuniladi. Ko‘p qiymatli
funksiyalarda ifodalashni oldini olish maqsadida kvadriklar
parametrik
bog‘langan
tenglamalarda
beriladi.
Tasvirlash
parametrlari sifatida silindrik koordinatalar
tizimi koordinatalari
dan foydalanish ancha qulay bo‘ladi. Silindrik
koordinatalar tizimining
o‘qi dekart koordinatalar tizimining
applikata o‘qi bilan mos tushsin. U holda nuqtaning
koordinatasi
йўна
49
bu ikki koordinatada bir xil bo‘ladi va uni belgilashda ham bitta
belgidan foydalansa ham bo‘ladi.
3.10-rasm. Silindrik va dekart koordinatalarida kvadrik kesim.
3.10-rasmda
z
o‘qiga perpendikulyar
tekislikning kvadrik bilan
kesishishidagi ellipsda yotuvchi joriy
A
nuqta ko‘rsatilgan. U
silindrik koordinatalarga ega, o‘z navbatida
ma’lum
qonuniyat bo‘yicha o‘zgaradi va qirqim balandligi
ga bog‘liq.
Umumiy holda kvadrikni parametrik ifodasi quyidagi
ko‘rinishga ega:
}
(3.2)
Bu erda,
lar sirtning geometrik parametrlarini aniqlovchi
funksional (z ga bog‘liq) koeffitsiyentlar.
(3.2) ifoda elliptik kesimlar majmuasi ko‘rinishidagi
kvadrik
sirtni ifodalaydi. 3.1-jadvalda tanlangan kvadriklar uchun
koeffitsiyentlar va normal vektorning koordinatalari
(
)
keltirilgan.
50
3.1-jadval.
Kvadriklarni parametrik ifodalash
Para-
metr
Ikkinchi tartibli sirtlar
Ellipsoid
Elliptik
parabo-
loid
Konus Elliptik
silindr
Bir polosali
giperboloid
Do'stlaringiz bilan baham: 
