\376\377\0004\0005\0006\0005\0009\000 \000n\000u\000q\000t\000a\000 \000k\000i\000n\000e\000m\000a\000t\000i\000k\000a\000s\000i

Nuqtaning harakat tezligi va tezlanishi. Nuqta trayektoriyasining egrilik radiusi

Harakatdagi nuqtaning tezligi – uning fazodagi yoki tekislikdagi vaziyatini aniqlovchi radius–vektor ^r dan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosiladir.

Tezlik nuqta vaziyatining vaqt birligi ichida o’zgarishini xarakterlaydi

_{ } dr dt

 _x  i

 _y 

j  _z

 k _,

bunda tezlik vektorining qo’zg’almas dekart koordinatalar sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari:

  ^dx  x;
&

^x dt

_{ } dy

^y dt

 y^&;

_{ } dz

^z dt

 z^&

(5)

formulalardan aniqlanadi.
Tezlik vektorining moduli va yo’nalishi quyidagicha topiladi:

cos 

 

 ^x ;

cos 

 ^y ;

,

cos 

 ^z ,

(6)

bu yerda

 ,  ,

- tezlik vektori  ning x,y,z

bo’ylab yo’naladi.

koordinata o’qlari musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchaklaridir.

Tezlik vektori doimo traektoriyaga urinma

Moddiy nuqta harakati tabiy usulda berilganda uning tezligi

  ^ds 

dt

 ϑ_ 

ga teng. Bu yerda ^ - yoy koordinatasi s ning o’sish tomoniga yo’nalgan birlik

vektori (2-rasm),

^v_ - tezlik vektorining urinma yo’nalishiga proyeksiyasi bo’lib

_{ϑ } ds

^ dt

 s^&

formula bilan aniqlanadi. Agar

_  0

bo’lsa, moddiy nuqta s

koordinatasining qiymatlari o’sish tomoniga qarab harakatlanadi. Agar

_  0

bo’lsa, nuqta s yoy koordinatasining qiymatlari kamayadigan tomonga qarab harakatlanadi.

Harakatdagi moddiy nuqtaning tezlanishi  tezlik vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi hosilasiga yoki r radius-vektordan vaqt bo’yicha ikkinchi tartibli hosilasiga teng.

Tezlanish tezlikning vaqt birligi ichidagi o’zgarishini xarakterlaydi va

d w



dt

_ d ²r dt ²

 w_x  i

• 
  w_y 
  

j  w_z  k

formula bilan hisoblanadi. Tezlanish vektorining qo’zg’almas dekart koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari

w_x 

dv_{x }

dt

d ² x

dt ²

 ^&x^&;

w_y 

dv_y

dt

_ d ² y dt ²

 ^&y^&;

w_z 

dv_{z }

dt

d ² z

dt ²
 ^&z^&.

(7)

kabi topiladi, ya’ni nuqta tezlanishining koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari tezlik vektori proyeksiyalarining vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilalariga, yoki nuqtaning mos koordinatalaridan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilalariga teng.

Tezlanishning moduli va yo’nalishi

cos  _/ 

w_{x ;}


w

y

cos  _/  ;

,
cos  _/ 
w_{z .}

(8)

formulalar yordamida aniqlanadi. Bu yerda

₁, ₁, ₁ -

tezlanish vektorining x,y,z koordinata o’qlari bilan hosil qilgan burchaklaridir.

Tezlanish vektori hamma vaqt trayektoriyaning botiqlik tomoniga qarab yo’nalgan.

Nuqta harakati tabiiy usulda berilganda tezlanish vektori urinma va narmal tezlanishlarning vektorli yig’indisiga teng (3-rasm), ya’ni

w  w_  w_n .

Tezlanishning urinma yo’nalishiga proyeksiyasi

_{w } dv_

^ dt
ga teng va uning qiymati

_{w } dv _ d <sub>

v2  v2  v2 </sub> v_x  w_x  v_y  w_y  v_z  w_{z ,}

(9)

^ dt dt

x y z _v

formula bilan aniqlanadi. Urinma tezlanish tezlik vektorining vaqt birligi ichidagi miqdor jihatdan o’zgarishini harakterlaydi. Normal tezlanish

_v2

w_n  _

(10)

formula yordamida topiladi. Bu yerda - trayektoriyaning egrilik radiusi. Ko’pincha (10) formuladan trayektoriyaning egrilik radiusining qiymatini aniqlashda foydalaniladi

  ^v2

.


w_n

Normal va urinma tezlanishlar berilganda tezlanishning kattaligi va yo’nalishi quyidagicha topiladi

 , cosw, ^   

; cosw, ^ n   ^wn _.

Yuqoridagi (10) formula trayektoriyaning egrilik radiusi qiymatini aniqlash uchun ishlatilgan vaqtda normal tezlanishning qiymati

formula bilan hisoblanadi.

w_n 

Topshiriq: M nuqtaning berilgan harakat tenglamalari asosida,uning

trayektoriya tenglamasi, vaqtning

t  t₁

paytida traektoriyadagi vaziyati, tezligi,

to’la tezlanishi, urinma va normal tezlanishlari, tegishli nuqtada trayektoriyaning egrilik radiusi topilsin. Natijalar shaklda tasvirlansin

3. Topshiriqni bajarish tartibi

1. 
   Trayektoriya tenglamasini topish va uni dekart koordinatalari sistemasida qurish.
   
2. 
   Vaqtning istalgan payti uchun tezlik va tezlanish vektorining koordinat o’qlaridagi proyeksiyalari, kattaliklari va yo’naltiruvchi kosinuslarini topish.
   

3. 
   Nuqtaning boshlang’ich t=0 va berilgan vaqtdagi
   

^{t  t1} , hamda to’xtash

jaylaridagi vaziyatlarini trayektoriyada ko’rsatish. Harakatning va to’xtash joylari oraliqlarida nuqta harakatining yo’nalishlarini aniqlash, hamda nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonunini vaqtga bog’liq ravishda aniqlash.

4. 
   Tezlanishning trayektoriyaga urinma va normal yo’nalishlariga proyeksiyalarini topish hamda trayektoriyaning egrilik radiusini aniqlash.
   

5. 
   Vaqtning berilgan
   

t  t₁

payti uchun tezlikning va tezlanishning kattaligi,

ularning dekart koordinatalari sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari, urinma va normal tezlanishlar qiymatlari, egrilik radiusi qiymatini hisoblash.

6. 
   Yuqorida olingan natijalarni chizmada ko’rsatish.
   

4. Topshiriqni bajarish namunasi

Berilgan:
x  1 

3 cos

^ t ² ; 3
y  3 

3 sin

^{ t} 2 , (11)

3

bunda

t₁ 

^{1 sek} ;

x, y

• 
  sm.
  

Yechish. 1. (11) harakat tenglamalari parametrik ko’rinishdagi trayektoriya tenglamasidir, bunda parametr – t. Trayektoriyaning dekart koordinatalaridagi tenglamasini topish uchun (11) dan t ni yo’qotish kifoya. Buning uchun ularni quyidagicha yozib olamiz

x  1 

3cos ^

3

t ²;

y  3 

3sin ^

3

t ²,

bu yerdan ushbuni hosil qilishi qiyin emas:

^{x 1}2 ^{ y  3}2 ^{ 32} . (12)

Bu radiusi 3 sm va markazining koordinatalari (1;3) nuqtada bo’lgan aylana tenglamasadir (Rasm-4).

2. 
   Harakat tenglamalari (11) dan vaqt bo’yicha birinchi tartibli hosila olib, tezlikning dekart koordinatalari o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz.
   

v_x  2  t 



sin t , 3

2

v_y  2 t 



cos t .

2

3

(13)

Bular asosida v tezlikning moduli va yo’naltiruvchi kosinuslarini topamiz:

v  

 2t

(14)

cosv,^0x  ^vx

 sin^{ } t ^{2 }, cosv,^0 y  ^vy  cos^{ } t ^{2 }.

   
3

3

   

Nuqta tezlanishi vektori w ning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topish uchun (13) tenglamalardan t vaqt bo’yicha birichi tartibli hosila olamiz:

w  2 ^{  } t ^{2 }  ²  t ²  cos^{ } t ^{2 };

_{x }sin_{ 3  3}

 ₃ _

_    _

w  2 ^cos^{ } t ^{2 }  ²  t ²  sin^{ } t ^{2 };

_{y }  
3

3







3



 

 _

^ _  _ 2
2

 ^ ^

  2 _ sin_ t ² _ 


 t ²

cos_ t ² _ 

_^ _ 3 _ 3



_ 3 _

 _  _ 2

 _ _{ 2 }1 / 2

(15)

• 
  cos_
  
  
  

_{ } 3

t ² _ 



 t ²

3

sin_

_ 3

_{t 2 } 

 _



 2 ;

tezlanish vektorining yo’naltiruvchi kosinuslari quydagicha topiladi:
_ 

cosw,^0x  ^wx


_{ }1 

^{ } t ^{2 }  ²  t ² cos^{ } t ^{2 };

_{4 }sin_{ 3  3}

 ₃ _

1   ²t ^{4   }

9

^{ }

(15¹)

cosw,^0 y  ^wy  ^{1 }cos^{ } t ^{2 }  ²  t ² sin^{ } t ^{2 };





 

 ^{  3}

3

3

 

^{ }

2. 
   Yuqorida keltirilganlarga ko’ra v tezlik vektorining traektoriyaga
   

o’tkazilgan urinmadagi proyeksiyasi

_{v } ds

ga teng, bu erda s=s(t) – yoy

^ dt

koordinatasining o’zgarishi, ya’ni nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonuni. Nuqta harakati koordinat usulda berilganda s(t) noma’lum bo’lganligidan uni aniqlash zaruriyati kelib chiqadi.  vektori doimo s yoy koordinatasining o’sish

tomoniga qarab yo’nalganligi uchun v_

va v o’zaro quyidagicha bog’langan

_{v  }v,
^ v,





agar

agar

ds  0,

ds  0.
(16)

Bu yerda ^{ds  0} ayni vaqtda harakatning musbat yo’nalishda (soat strelkasi

harakatiga qarshi) bo’layotganligini,

ds  0

esa ayni vaqtda harakatning manfiy

yo’nalishda (saot strelkasi harakati bo’yicha) bo’layotganligini ko’rsatadi.

Nuqta trayektoriya bo’ylab to’xtab – to’xtab harakat qilishi mumkin, lekin harakat yo’nalishi birinchi to’xtaguncha va to’xtashlar oraliqlarida o’zgarmaydi. To’xtashdan keyin nuqta o’z harakatini ilgarigi yo’nalishda davom ettiradi yoki teskari yo’nalishga o’zgartiradi. Shuning uchun ham nuqtaning to’xtaydigan paytlarini va joylarini aniqlash zarur. Bu esa nuqta to’xtalganida uning tezligi

nolga teng bo’lishi shartidan topiladi, ya’ni

v   t  0,

bundan

^{t1  0} . Demak,

nuqta tinch holatdan harakatga keladi va tezligini musbat yo’nalishda vaqtga proporsional ravishda oshirib boradi. Bu yerdan esa vaqtning ixtiyoriy qiymatida

v_  v

 2 t

ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglikni vaqt bo’yicha noldan t gacha

integrallasak nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonuni kelib chiqadi, ya’ni

t t _{t 2}

s(t)  _ v_ dt   _ 2t dt   

 2   t ².

0 0 ²

2. 
   Yuqorida keltirilgan formulaga asosan nuqta tezlanishining trayektoriyaga
   

o’tkazilgan urinmadagi proyeksiyasi ^w_



_ dv_

dt

 2

ga teng.

Tezlanishning moduli ^

quyidagicha topiladi

bo’lgani uchun normal tezlanish

w_n  

^{ 4 2t 2} .

3

Yuqorida topilganlarga asosan egrilik radiusini topish qiyinchilik tug’dirmaydi

  ^v2

w<sub>n

</sub> 4 ²t <sup>2

4</sup> _ 2_t 2

3

 3 sm;

2. 
   Vaqtning topamiz:
   

t_/ 1

sek payti uchun tegishli formulalardan quyidagilarni

x1  1  3cos ^

3

y1  3  3sin ^

3

 1  ³  2,5 sm;

2

 3  ^{3 3}  4,299 sm;

2

v 1  2 1 sin ^  

x ₃

3   5,432 sm / sek.

v 1  2  1 cos^    3,14 sm/ sek;

y ₃

v1  2   6,28 sm/ sek;

 ^{ 2 } 

 _  ₂

w_x 1  2 _sin    cos

_  2  ^

 ^  12,01sm/ s ;

_ 3 3

w_y 1  2

^cos^ ^2 			sin ^	 	2  ^1 ^		
	3	3	3		 ^23	

3 _{ }



2 3 _

 ^{ 8,26 sm/ s2;}

w1  2

w_ 1  2

 14,57sm/ s²;

 3,14  2sm / s²  6,28 sm / s²;

w 1  ⁴  ²  14,57 sm / s²;

n ₃

^{  3 sm} .

2. 
   Tezlik va tezlanish hamda ularning dekart va tabiiy koordinatalar sistemalaridagi proyeksiyalari 4-rasmda keltirilgan.