34-mavzu. Trigonometrik tenglamalar. Trigonometrik tengsizkiklar

4-misol. sin2x+3cos2x=a tenglama yechilsin.
echish. 2sinxcosx+3cos²x-3sin²x=a,
2tgx+3–3tg²x=a(1+tg²x),
tg²x(a+3)–2tgx+(a–3)=0,
.
Agar |a| bo‘lsa, Agar a=–3 bo‘lsa, sin2x+3cos2x=–3 bo‘ladi.
2sinxcosx+3cos²x+3cos²x–3=–3, 2sinxcosx+6cos²x=0, cosx(sinx+3cosx)=0,
1) cosx=0, sinx+3cosx0, x₁= +k, kz;
2) cosx0, sinx+3cosx=0, x₂=arctg(–3)+k, kz.
J: Agar |a| (a–3) bo‘lsa, , agar (a–3) bo‘lsa, x= +k, kz; agar |a|> bo‘lsa, tenglama yechimga ega emas.
5-misol. sin⁶x+cos⁶x=a(sin⁴x+cos⁴x) tenglama yechilsin.
echish. sin⁴x+cos⁴x=(sin²x+cos²x)²–2sin²xcos²x=1–2sin²xcos²x,
sin⁶x+cos⁶x=(sin²x+cos²x)³–3sin⁴xcos²x–3sin²x·cos⁴x)=1–3sin²xcos²x,
1–3sin²xcos²x=a(1–2sin²xcos²x),
1–3sin²xcos²x=a–2asin²xcos²x,
sin²xcos²x= , sin²2x=4 .
Agar bu yerda 04 1 bo‘lsa, tenglama ma’noga ega bo‘ladi. Bu tengsizlikni yechsak, a1 bo‘ladi. Agar a= bo‘lsa, 1–3sin²xcos²x= –3sin²xcos²x hosil bo‘ladi, bundan 1= tenglik hosil bo‘ladi, buning bo‘lishi mumkin emas.
Agar a1 bo‘lsa,
Agar a< va a>1 bo‘lsa, yechim yo‘q.
6-misol. tenglama yechilsin.
echish. bunga ko‘ra




bu yerda quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

Bu tengsizliklarni yechsak, hosil bo‘ladi. Bu shartga ko‘ra

Buni yechsak,
J: Agar bo‘lsa, x₁=2k, kz
Agar 1m5 bo‘lsa, x₁=2k, kz
Agar bo‘lsa, x=2k, kz .
7-misol. asin2x+bsin + tenglamani yeching.
echish. Bizga ma’lumki, asinx+bcosx=Asin(x+).
Bu yerda A= burchakning qiymati esa quyidgai shartlardan kelib chiqadi: sin= , cos= , =arctg . Shuning uchun sin(2x–)–sin6x=0, sin cos =0;
sin =0, 4x+=(–1)^karcsin0⁰+2k,
4x=–+2k, x= – arctg .
b) cos =0, =arccos0⁰+2k, 8x–=+2k.
J: x= + arctg , kєz.

MUSTAQIL YEChISh UChUN MISOLLAR.

1-misol. sesx+cosesx+sesxcosesx=a, (a0) tenglama yechilsin.
J: Agar 1 bo‘lsa, x=– +(–1)^karcsin +k, kєz.
2-misol. tg(a+x)tg(a–x)=1–2cos2x tenglama yechilsin.
J: x=k arccos
Trigonometrik tenglamalar sistemasini yechish
Tarkibida trigonometrik funksiyalar qatnashgan bir necha tenglama trigonometrik tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Trigonometrik tenglamalar sistemasini yechish tenglamadagi no‘malumlarning shu tenglamalar sistemasini qanoatlantiradigan qiymatlarini topish demakdir. Ikki noma’lumli ikkita tenglama sistemasining yechimi deb, noma’lumlarning ikkala tenglamani ham qanoatlantiradigan juft qiymatlariga aytiladi.
1-misol. tenglamalar sistemasi yechilsin.
echish.

2- Misol. tenglamalar sistemasi yechilsin.
echish:

3-Misol. Tenglamalar sistemasi yechilsin.
yechish:


1) agar b = 0, a  0 bo‘lsa, sistema yechimga ega emas.
agar b  0, bo‘lsa, sistema yechimga ega.
3) agar b=0, a=0 bo‘lsa, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega.
4-Misol. tenglamalar sistemasi yechilsin.
echish. , shuning uchun



5-misol. tenglamalar sistemasini yeching.
eching.

sistemadagi tenglamalarni o‘zaro qo‘shsak,

hosil bo‘ladi. (1) sistemadagi tenglamalarni o‘zaro ayirsak quyidagi tenglik hosil bo‘ladi.





6-misol. tenglamalar sistemasini yeching.
echish:


7-misol. tenglama sistemasini yeching.
echish.




8-misol. tenglamalar sistemasini yechilsin.
echish.

Bu sistemadagi tenglamalarni o‘zaro hadlab qo‘shamiz:

MUSTAQIL YEChISh UChUN MISOLLAR.
Tenglamalar sistemasini yeching.