34-mavzu. Trigonometrik tenglamalar. Trigonometrik tengsizkiklar

34-MAVZU. Trigonometrik tenglamalar. Trigonometrik tengsizkiklar.

Parametrli trigonometrik tenglamalarni yechish.

Parametrli trigonometrik tenglamani yechish parametrlarning mumkin bo‘lgan har bir qiymatlari sistemasi uchun berilgan tenglamaning hamma yechimlari to‘plamini aniqlash demakdir. Parametrik ko‘rinishdagi trigonometrik tenglamalarni yechish quyidagi ketma-ketliklar acosida amalga oshiriladi.

Parametrlarning mumkin bo‘lgan har bir qiymatlari sistemasi uchun yechimlar sonini aniqlash.
Hosil qilingan parametrli yechim formulalarini topish.
Tenglamani parametrlar acosidagi qiymatlar sistemasini aniqlash.
1-misol. sin(a+x)+sinx=cos tenglama yechilsin.
Yechish. Berilgan tenglamaning chap tomonida turgan ifodaga trigonometrik funksiyalar yig‘indisini ko‘paytmaga keltirish formulasini tadbiq qilsak, u quyidagi ko‘rinishni oladi:

Bu tenglamada quyidagi ikki hol bo‘lishi mumkin.
1. Agar bo‘lsa, u holda tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

2. Agar =(2n+1) bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Bu holda ham tenglik o‘rinli bo‘ladi:

2-misol. sin²x+asin²2x=sin tenglama yechilsin.
Yechish. ,
1– cos2x+2a –2acos²2x=1,
2acos²2x+cos2x–2a=0,
(cos2x)₁= ; (cos2x)₂=
1+16a²>0, | |1,
–1+ 4a,
1+16a²4a²+8a+1,
12a²– 8a0; a(12a – 8)0
1) a=0, 12a–80,
a0, 12a–8=0, a= , bundan a bo‘ladi.
b) cos2x= ; | |1,
tengsizlik a ning hech qanday qiymatlarida bajarilmaydi. Agar a=0 bo‘lsa x_1,2= +k, kz.
J: a0 da x_1,2=k
a=0 da x_3,4= +k, kz.
3-misol. cosx+sinx=a tenglama yechilsin.
echish. cosx+sinx= cos[x– ]; agar |a| bo‘lsa, bu tenglama yechimga ega bo‘ladi. Agar |a| bo‘lsa, agar |a|> bo‘lsa, yechim yo‘q.