|
2.
Ikki o’lchovli diskret tasodifiy mikdorni
taqsimot qonuni
Ta’rif.
Ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb,
ularning qabul qilishi mumkin bo’lgan juft
)
,
1
;
,
1
(
;
m
j
n
i
y
x
j
i
qiymatlari va
ularga mos ehtimollari
j
i
y
x
P
,
orasidagi boglanishga aytiladi.
X
Y
1
x
2
x
…
i
x
…
n
x
Σ
1
y
1
1
,
y
x
P
1
2
,
y
x
P
1
,
y
x
P
i
1
,
y
x
P
n
)
(
1
y
P
…
…
…
… …
…
…
j
y
j
y
x
P
,
1
j
y
x
P
,
2
…
j
i
y
x
P
,
…
j
n
y
x
P
,
)
(
j
y
P
…
…
…
… …
…
…
m
y
m
y
x
P
,
1
m
y
x
P
,
2
…
m
i
y
x
P
,
…
m
n
y
x
P
,
)
(
m
y
P
Σ
)
(
1
x
P
)
(
2
x
P
…
)
(
i
x
P
)
(
n
x
P
1
Jadvaldagi 1-satr X tashkil etuvchining qiymatlaridan iborat. 1-ustun Y tashkil
etuvchining qiymatlaridan iborat.
j
i
y
x
P
,
esa X tashkil etuvchi
i
x
X
qiymatni
qabul qilganda Y tashkil etuvchini
j
y
Y
qiymatni qabul qilish ehtimoli
n
i
n
j
j
i
у
x
P
1
1
1
)
;
(
.
Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarni taqsimot qonuni ma’lum bo’lsa, uni tashkil
etuvchilarini taqsimotini topish mumkin. Haqiqatan, masalan,
)
;
(
...,
),
;
(
),
;
(
1
2
1
1
1
m
y
Y
x
X
y
Y
x
X
y
Y
x
X
hodisalar birga ro’y bermas, shuning uchun
X
ning
1
x
qiymat qabul qilish
)
(
1
x
P
ehtimoli qo’shish teoremasiga ko’ra:
).
,
(
...
)
,
(
)
,
(
)
(
1
2
1
1
1
1
m
y
x
p
y
x
p
y
x
p
x
P
Shunday qilib,
X
ning
1
x
qiymat qabul qilish
)
(
1
x
P
ehtimoli «
1
x
ustundagi»
ehtimollar yig’indisiga teng. Umumiy holda
)
(
i
x
X
P
ehtimolni topish uchun
i
x
ustundagi ehtimollarni qo’shish lozim. Shunga o’xshash, «
j
y
satrdagi» ehtimollarni
qo’shib,
)
(
j
y
Y
P
ehtimolni hosil qilamiz.
Misol. Q
uyidagi ikki o’lchovli tasodifiy miqdorni taqsimot qonuni berilgan.
X
Y
1
x
2
x
3
x
1
y
0,15
0,12
0,08
2
y
0,25
0,18
0,22
X tashkil etuvchini taqsimot qonuni topilsin.
1
2
,
0
4
,
0
4
,
0
)
(
)
(
)
(
2
,
0
22
,
0
08
,
0
)
(
4
,
0
18
,
0
12
,
0
)
(
4
,
0
25
,
0
15
,
0
)
(
3
2
1
3
2
1
x
P
x
P
x
P
x
P
x
P
x
P
Taqsimot qonuni quyidagi
X
1
x
2
x
3
x
R
0,4
0,3
0,3
Tekshirish:
.
1
2
,
0
4
,
0
4
,
0
3.
Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarni taqsimot
funksiyasi va uning xossalari
Ikki o’lchovli tasodifiy
)
,
(
Y
X
ni qaraymiz. Faraz qilaylik
x
va
y
haqiqiy
sonlar jufti bulsin.
Ta’rif.
X
tasodifiy mikdorni
x
hakikiy sondan kichik qiymat qabul qilganda
Y
tasodifiy miqdorni ham
y
hakiqiy sondan kichik qiymat qabul qilishdan iborat
hodisa extimoliga
)
,
(
Y
X
ning taqsimot funksiyasi deyiladi, ya’ni
).
,
(
)
,
(
y
Y
x
X
P
y
x
F
u
)
,
(
y
x
0
x
3-shakl
1-xossa.
Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorningg taqsimot funksiyasi qo’sh
tengsizlikni qanoatlantiradi:
.
1
)
,
(
0
y
x
F
Isboti
. Hossa taqsimot funksiyani ehtimoli sifatida ta’riflashdan kelib chiqadi:
ehtimol har doim 1 dan katta bo’lmagan manfiy bo’lmagan sondir.
2-xossa
.
)
,
(
y
x
F
ikkala argument bo’yicha ham kamaymovchi funksiyadir, ya’ni
.
'
),
,
(
)
,
(
,
'
),
,
(
)
,
(
2
1
2
1
2
1
2
1
lsa
bo
y
y
agar
y
x
F
y
x
F
lsa
bo
x
x
agar
y
x
F
y
x
F
3-xossa.
)
,
(
y
x
F
uchun quyidagi limit munosabatlar o’rinli;
.
1
)
,
(
.
4
,
0
)
,
(
.
3
,
0
)
,
(
.
2
,
0
)
,
(
.
1
F
F
x
F
y
F
Ko’rinib turibdiki, agar
)
,
(
y
x
F
funksiyaning argumentlaridan birortasi
bo’lsa, funksiya qiymati nolga teng bo’ladi.
Demak,
X
va
Y
tashkil etuvchilari
dan kichik qiymat qabul qilish
ehtimoli nolga teng.
Agar
y
x
;
bo’lsa,
)
,
(
Y
X
ni butun tekislikdagi qiymatlarini qabul
qilish ehtimoli 1 ga teng.
4-xossa.
Agar
)
,
(
y
x
F
funksiyani argumentlaridan birortasi
ga teng bo’lsa, u 2-
argumentni funksiyasiga aylanadi:
).
(
)
,
(
),
(
)
,
(
2
1
y
F
y
F
x
F
x
F
Tashlangan nuqtani yarim tekislikka tushishini ifodalovchi ehtimollar quyidagicha:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
2
2
1
y
x
F
y
x
F
y
Y
x
X
x
P
.
u u
u (x
1
;u) (x
2
;u) u
2
(x
1
;u
2
)
u
1
(x
1
; u
1
)
0 x
0 x
1
x
2
x
(a)
(b)
(b) shakl.
(a) shakl
Shunga o’xshash
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
2
2
1
y
x
F
y
x
F
y
Y
y
x
X
P
Shunday qilib, tasodifiy nuqtaning yarim tekislikka tushish ehtimoli taqsimot
funksiyaning argumentlaridan biri bo’yicha orttirmasiga teng.
Tasodifiy tashlangan nuqtani to’g’ri to’rtburchakka tushish ehtimoli
quyidagicha bo’ladi:
)].
,
(
)
,
(
[
)]
,
(
)
,
(
[
)
,
(
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
Y
y
x
X
x
P
u
(v) shakl
B(x
1,
u
2
) S(x
2
,u
2
)
-------
------- | A(x
1
,u
1
) | D(x
2
,u
1
)
| |
0 x
(v)
4. Ikki o’lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot zichligi funksiyasi va
uning xossalari
Faraz qilaylik,
)
,
(
y
x
F
ikki o’lchovli tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi
hamma joyda uzluksiz bo’lib, 2-tartibli aralash xususiy hosilaga ega bo’lsin.
Ta’rif.
Ikki o’lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor
)
,
(
Y
X
ni taqsimot
funksiyasidan olingan 2-tartibli aralash xususiy hosilaga, shu tasodifiy miqdorni
taqsimot zichligi funksiyasi deyiladi
у
х
у
х
F
у
х
f
)
;
(
)
;
(
2
.
1-xossa.
Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorni zichlik funksiyasi manfiy emas:
0
)
;
(
у
х
f
.
Isboti.
)
,
(
y
x
F
funksiyani ikkala argumenti bo’yicha ham kamaymovchi ekanidan
kelib chiqadi.
2-xossa.
Ikki o’lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot zichligi funksiyasidan
olingan chegaralari cheksiz ikki karrali xosmas integral 1 ga teng:
1
)
;
(
dxdу
у
х
f
.
Isbot.
Zichlik funksiyasidan olingan chegaralari cheksiz xosmas integral
xOy
sohani yuzini ifodalaydi. Tashlangan nuqtani esa butun tekislikka tushishi ishonchli
hodisa. Ishonchli hodisani ehtimoli 1 ga teng.
Agar
)
;
(
у
х
f
ma’lum bo’lsa,
)
,
(
y
x
F
ni topishda quyidagi formuladan
foydalaniladi:
dxdу
у
х
f
у
х
F
x
y
)
;
(
)
;
(
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
