3-Mavzu Statistik ko’rsatkichlar. O’rtacha miqdorlar

3.5. O’rtacha arifmetik miqdorning turlari, uning xususiyatlari va ularni hisoblash tartibi.
Yuqorida ta’kidlab o’tilgandek, o’rtacha arifmetik miqdorlar o’rtacha miqdorlarning eng sodda va amaliyotda juda keng qo’llaniladigan turlaridan biri bo’lib hisoblanadi. Bu miqdorlar oddiy va tortilganko’rinishda bo’ladi.
Oddiy arifmetik o’rtacha miqdorlari o’rtalashtirilayotgan belgi miqdorlari (variantlari) bir yoki bir xil holda takrorlangan paytda qo’llaniladi. Uni aniqlash uchun dastlab o’rtalashtirilayotgan alohida (individual) miqdorlar (x) yig’indisi () aniqlanadi, so’ngra olingan natija ularning soni (n) ga bo’linadi. Buni quyidagicha yozish mumkin:
(1)
Masalan, olti ishchining bir oylik ish haqi quyidagicha bo’lsin: 28000, 28600, 29200, 29400, 29800, 30100.
U holda:
so’mni tashkil etadi.
Tortilgan o’rtacha arifmetik miqdorlari o’rtalashtirilayotgan belgi miqdorlari (variantlari) bir xil holda takrorlanmagan paytda qo’llaniladi. Uni aniqlash uchun dastlab o’rtalashtirilayotgan alohida (individual) miqdor (x) lar uning vazni (f) ga ko’paytirilib chiqiladi va olingan natija (xf) ni uning umumiy vazn soni (f) ga bo’linadi. Buni quyidagicha yozish mumkin:
(2)
Endi tortilgan o’rtacha arifmetik miqdorlarni hisoblash tartibini quyidagi jadvalda keltirib o’tamiz (33-jadval):
33-jadval
Xo’jalik brigadalari bo’yicha ish haqi fondini o’rtacha arifmetik tortilgan formulasi orqali hisoblash tartibi.

Bir oylik ish haqi darajasi (so’mda), (variantlar-x)	Ishchilar soni, (vazni-f)	Jami ish haqi fondi, (xf)
28000	2	56000
28600	4	114400
29200	3	87600
29400	5	147000
29800	3	89400
30100	3	90300
Yig’indisi ()	20	584700

U holda:
so’mni tashkil etadi.

Ayrim xollarda o’rtacha miqdorlar oraliq (interval) qatorlar, umumiy va guruhiy o’rtachalar, shuningdek, nisbiy miqdorlar asosida ham hisoblanishi mumkin.
O’rtacha miqdorlarni intervalnili (oraliqli) qatorda hisoblashning o’ziga xos xususiyatlari bor. Buning uchun dastlab har bir interval (oraliq) guruh bo’yicha o’rtachani, so’ngra esa jami qatorlar bo’yicha umumiy o’rtachani hisoblash lozim. Agarda, interval (oraliq) yopiq ko’rinishda bo’lsa, u holda har bir (interval) oraliq guruh uchun o’rtacha interval (oraliq) belgining quyi darajasi bilan yuqori daraji yig’indisining yarmiga teng bo’ladi. Agarda, interval (oraliq) ochiq ko’rinishda bo’lsa, u holda birinchi guruhning quyi darajasini topish uchun ikkinchi guruh intervalini (oralig’ini) birinchi guruhning yuqori darajasidan ayirish kerak, oxirgi guruhning yuqori darajasini topish uchun esa o’zidan oldingi guruh intervalini (oralig’ini) shu guruhning quyi darajasiga qo’shish kerak bo’ladi.
Interval (oraliq) qatorlarda o’rtachani hisoblash tartibini quyidagi misolda ko’rib chiqamiz (34-jadvalga qarang):
34-jadval
Ishchilarning o’rtacha ish haqi olishlariga qarab guruhlarga taqsimlanishi.

O’rtacha ish haqi bo’yicha ishchilar guruhlari (so’m hisobida), x	Ishchilar soni, f	Guruhlar bo’yicha o’rtacha ish haqi, (so’m hisobida), x	O’rtacha oraliqlarning ishchilar soniga bo’lgan ko’paytmasi (xf)
20000 gacha	20	(18000+20000):2=19000	380000
20000-22000	30	(20000+22000):2=21000	630000
22000-24000	40	(22000+24000):2=23000	920000
24000 va undan yuqori	10	(24000+26000):2=25000	250000
	f=100	-	xf=2180000

Jami 100 ta ishchi bo’yicha o’rtacha ish haqini hisoblaymiz:

so’m.
Bu yerda shuni ta’kidlab o’tish kerak-ki, interval (oraliq) kattaligi qancha kichik bo’lsa, o’rtacha shuncha aniq bo’ladi. Teng miqdorli interval (oraliq) asosida hisoblangan o’rtacha teng bo’lmagan interval (oraliq) asosida hisoblangan o’rtachaga nisbatan aniqroq bo’ladi, chunki teng intervalli (oraliqli) qatorlar darajasi guruhiy o’rtachalarga yaqinroq bo’ladi.
O’rtacha arifmetik miqdorlar faqat umumiy to’plam uchun xos bo’lgan o’rtachani tavsiflaydi. Ammo amaliy ishda umumiy o’rtachani hisoblashbilan birgalikda, shu umumiy to’plam uchun progressiv va regressiv o’rtacha ham hisoblanadi.
Progressiv o’rtacha umumiy to’plam o’rtachasini emas, balki shu o’rtachadan yuqori bo’lgan birliklar o’rtachasini tavsiflasa, regressiv o’rtacha esa shu o’rtachadan past bo’lgan birliklar o’rtachasini tavsiflaydi.
Bu o’rtachani hisoblash tartibini xo’jalik brigadalari bo’yicha ekin maydoni misolida ko’rib chiqamiz:

Brigada raqamlari	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ekin maydoni	260	270	280	270	260	270	280	300	300	280

Ushbu misolimizda o’rtacha ekin maydon soni quyidagicha aniqlanadi:

gektarni tashkil etadi.
Misolimizda umumiy o’rtacha ekin maydoni bir brigada hisobiga 277 ga ni tashkil etsa, 3,7,8,9 va 10 brigadalarning ekin maydoni shu o’rtachadan yuqoridir, 1,2,4,5 va 6 brigadalarning ekin maydoni esa shu o’rtachadan pastdir.
Agarda, birinchi beshta brigada bo’yicha o’rtacha aniqlansa, bu o’rtacha progressiv o’rta bo’ladi:
ga ni tashkil etadi.
Agarda, ikkinchi beshta brigada bo’yicha o’rtacha aniqlansa, bu o’rtacha regressiv o’rtacha bo’ladi:
ga ni tashkil etadi.
Shu bilan birga umumiy o’rtacha guruhiy va xususiy o’rtachalar asosida ham hisoblanishi mumkin. Masalan, uch guruh paxtachilik shirkat xo’jaliklari bo’yicha paxta ishlab chiqarish rejalari to’g’risidagi quyidagi ma’lumotlar keltirilgan (35-jadval):
35-jadval
Uch guruh paxtachilik shirkat xo’jaliklarida o’rtacha
xosildorlik va ekin maydoni.

Xosildorlik asosida hisoblangan xo’jaliklar guruhlari	O’rtacha paxta xosildorligi, s/ga (xi)	Ekin maydoni, ga (fi)	Yalpi xosil, s (xifi)
Qoloq xo’jaliklar	15	6500	97500
O’rtacha xo’jaliklar	20	5000	10000
Ilg’or xo’jaliklar	35	8000	280000
Jami	?	19500	477500

Bu yerda o’rtacha xosildorlik jamoa xo’jaliklari guruhlari bo’yicha keltirilgan bo’lib, umumiy o’rtacha xosildorlik noma’lum. Ana shunday xollarda umumiy o’rtachani hisoblash uchun guruhiy o’rtachalar (x_i) ni ekin maydoni (variant) (f_i) ga ko’paytirib, ularning yig’indisini ( ) vaznlar (ekin maydoni) ( ) yig’indisiga bo’lish kerak:

s/ga ni tashkil etadi.
Shuningdek, ayrim xollarda o’rta miqdorlarni vazn (f), variant (x_i) funksiyasini ko’pincha nisbiy miqdorlar ham bajarishi mumkin. Buni quyidagi misol yechimida ko’rishimiz mumkin (36-jadvalga qarang).
36-jadval
Paxtachilik shirkat xo’jaliklarida rejaning bajarilish darajasi.

Xo’jaliklar guruhi	Reja, s f	Reja bajarilishi (xi)	Reja bajarilishi, (s da)	Mashina terimi salmog’i (foizda) d
1	2	3	4(23)	5
Qoloq xo’jaliklar	97500	85	82875	60
O’rtacha xo’jaliklar	100000	105	105000	80
Ilg’or xo’jaliklar	280000	120	336000	90
Jami	477500	?	523875	?

Endi shirkat xo’jaliklari bo’yicha quyidagilarni hisoblaymiz:

1. 
   
   

=

yoki 109,71 % ni tashkil etadi.

Demak, shu shirkat xo’jaliklari bo’yicha paxta ishlab chiqarish rejasi o’rtacha – 9,71 (109,71-100,00) % ga ortiq bajarilgan.


yoki 83,25 % ni tashkil etadi.
Demak, jami ishlab chiqarilgan paxtaning 83,25 % ini paxta terish mashinalari orqali yig’ishtirib olingan.
Endi o’rtacha arifmetik miqdorlarning bir qator xususiyatlarini ko’rib chiqamiz:
1. Agarda, aniqlangan o’rtachani uning vaznlar yig’indisiga ko’paytirilsa, u holda bu varianti uning vazn ko’paytmasi yig’indisiga hammavaqt teng bo’ladi, ya’ni:

(3)

Masalan, xo’jalik brigadasida o’rtacha ish haqi darajasi quyidagicha bo’lsin (157-betdagi 33-jadvalga qarang).

so’mni tashkil etsa, u holda:
so’mga teng bo’ladi.
2. Agarda, belgining alohida miqdorlaridan qandaydir bir «A»- sonni ayirsak yoki ularga qandaydir «A»- sonni qo’shsak, so’ngra o’rtachani hisoblasak, u holda bu hisoblangan o’rtacha haqiqiy o’rtachadan «A»- songa shuncha kichik yoki katta bo’ladi (ushbu hisoblash tartibini 157-betdagi 33-jadval ma’lumotlari asosida bajaramiz), ya’ni (162-betdagi 37 va 38-jadvallarga qarang):

a) (4)

bundan a^I)

b) (5)

bundan b^I)

37-jadval

O’rtacha miqdorlarni kamaytirilgan variantida hisoblash tartibi.

Bir oylik ish haqi darajasi, (so’mda) (variantalar – x)	x-A (A=28000)	Ishchilar soni (vazni – f)	(x-A)f
28000	0	2	0
28600	600	4	2400
29200	1200	3	3600
29400	1400	5	7000
29800	1800	3	5400
30100	2100	3	6300
Yig’indisi ()	-	20	24700

;
.

38-jadval

O’rtacha miqdorlarni qo’shib qo’yish variantida hisoblash tartibi.

Bir oylik ish haqi darajasi, (so’mda) (variantalar – x)	x+A (A=28000)	Ishchilar soni (vazni – f)	(x+A)f
28000	56000	2	112000
28600	56600	4	226400
29200	57200	3	171600
29400	57400	5	287000
29800	57800	3	173400
30100	58100	3	174300
Yig’indisi ()	-	20	1144700

;
.
3. Agarda, belgining alohida miqdorlarini qandaydir «A»-songa ko’paytirsak yoki bo’lsak, so’ngra o’rtachani hisoblasak, u holda bu hisoblangan o’rtacha haqiqiy o’rtachadan «A»-songa shuncha marta ko’payishi yoki kamayishi mumkin (ushbu hisoblash tartibini 33-jadval ma’lumotlari asosida bajaramiz), ya’ni (39 va 40-jadvallarga qarang ):
a) (6)
bundan a^I)
b) (7)
bundan b^I)
39-jadval
O’rtacha miqdorlarni ko’paytirish variantida hisoblash tartibi.

Bir oylik ish haqi darajasi, (so’mda) (variantalar – x)	xA (A=5)	Ishchilar soni (vazni – f)	(xA)f
28000	140000	2	280000
28600	143000	4	572000
29200	146000	3	438000
29400	147000	5	735000
29800	149000	3	447000
30100	150500	3	451500
Yig’indisi ()	-	20	2923500

40-jadval
O’rtacha miqdorlarni bo’lish variantida hisoblash tartibi.

Bir oylik ish haqi darajasi, (so’mda) (variantalar – x)	(A=5)	Ishchilar soni (vazni – f)	f
28000	5600	2	11200
28600	5720	4	22880
29200	5840	3	17520
29400	5880	5	29400
29800	5960	3	17880
30100	6020	3	18060
Yig’indisi ()	-	20	116940

4. Agarda, alohida miqdorlarning vaznini, uchrashish tezligi (f) ni qandaydir «A»-songa ko’paytirsak yoki bo’lsak, so’ngra o’rtacha ni hisoblasak, bu hisoblangan o’rtacha o’zgarmaydi (ushbu hisoblash tartibini 33-jadval ma’lumotlari asosida bajaramiz), ya’ni (41-jadvalga qarang):

41-jadval

O’rtacha miqdorlarning vaznlarini bo’lish orqali
hisoblash tartibi.

Bir oylik ish haqi darajasi, (so’mda) (variantalar – x)	Vazni (f)		x( )
28000	2	10	28000
28600	4	20	572000
29200	3	15	438000
29400	5	25	735000
29800	3	15	447000
30100	3	15	451500
Yig’indisi ()	20	100	2923500

(8) (8^I)
Bu xossa shuni ko’rsatadiki, o’rtacha vazn hajmga (songa, miqdorga) emas, balki ular o’rtasidagi nisbatga (salmoqqa) bog’liqdir. Shuning uchun ham hajm vazifasini faqat mutlq miqdorlar emas, balki tuzilmaviy nisbiy miqdorlar ham bajara oladi (bunda, - foizda ifodalanadi).

5. Agarda, belgining alohida miqdorlari bilan ularning o’rtacha darajasi o’rtasidagi tafovut yig’indisi hisoblansa, u holda olingan natija doimo nolga teng bo’ladi (ushbu hisoblash tartibini (33-jadval ma’lumotlari asosida bajaramiz), ya’ni (42 va 43-jadvallarga qarang):
42-jadval
Vaznsiz qatorlarda hisoblash tartibi ( )

x	28000	28600	29200	29400	29800	30100	x=175100
	28000,0-29183,3= -1183,3	28600,0-29183,3= -583,3	29200-29183,3= +16,7	29400-29183,3= +216,7	29800-29183,3= +616,7	30100-29183,3= +916,7	(x- )=0

- vaznsiz qatorlarda; (9)
- vaznli qatorlarda

43-jadval
Vaznli qatorlarda hisoblash tartibi ( )

Bir oylik ish haqi darajasi, (so’mda) (variantalar – x)	Ishchilar soni (vazni – f)		(x- )f
28000	2	28000-29235= -1235	-2470
28600	4	28600-29235= -635	-2540
29200	3	29200-29235= -35	-105
29400	5	29400-29235= +165	+825
29800	3	29800--29235= +565	+1695
30100	3	30100-29235= +865	+2595
Yig’indisi ()	20	-	-5115 +5115

Bu xususiyat o’rtacha arifmetik miqdorlarning to’g’ri yoki noto’g’ri hisoblanganligini tekshirish uchun kerak bo’ladi.
Ayrim xollarda, yuqoridagi xossalarga asoslangan holda o’rtachani hisoblashni ancha soddalashtirish usulini qo’llash mumkin. Biz bu holatni o’rtacha shartli moment usulida hisoblash misolida ko’rib chiqamiz. Bu usulda berilgan alohida miqdorlardan (x) qandaydir o’zgarmas «A»-soni (odatda qator o’rtasidagi son) ayirilib, olingan natija «V»-songa (kator oralig’i miqdorlariga) bo’linadi. Natijada Y¹ qatori xosil bo’ladi, ya’ni:

So’ngra yangi qator U¹ uchun o’rtacha miqdor hisoblanadi:

Hisoblangan o’rtachani o’zgarmas «V»-songa ko’paytirib, so’ngra unga «A»-sonni qo’shsak, haqiqiy o’rtacha kelib chiqadi:
yoki
O’rtacha miqdorni shartli moment usulida hisoblash tartibini quyidagi misolda ko’rib chiqamiz (44-jadval):
44-jadval
Xo’jaliklarning xosildorligi bo’yicha guruhlanishi

Xo’jaliklarning xosildorligi bo’yicha guruhlari	Xo’jalik-lar soni f	Oraliq-lardagi o’rtachasi x	A=27,5 V=5	Y^1f
1	2	3	4	5(4x2)
15-20	4	17,5	(17,5-27,5):5=2	(-2)x4=-8
20-25	8	22,5	(22,5-27,5):5=-1	(-1)x8=-8
25-30	12	27,5	(27,5-27,5):5=0	0x12=0
30-35	10	32,5	(32,5-27,5):5=+1	(+1)x10=+10
35-40	6	37,5	(37,5-27,5):5=+2	(+2)x6=+12
Jami	40	-	-	+6

Endi ushbu jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida hisoblaymiz:

yoki 28,3 s.ni tashkil etadi.
O’rtacha arifmetik miqdorlarni hisoblashning oddiy usuli yordamida olingan natijani tekshirib o’tamiz:

yoki 28,3 s.ni tashkil etadi.
Ko’rinib turibdiki, har ikkala usulda ham o’rtacha xosildorlik xo’jaliklar bo’yicha 28,3 s.ni tashkil etadi. To’g’ri, shartli moment usulida o’rtachani hisoblash guyo oddiy usulga nisbatan murakkabroqqa o’xshaydi lekin bu faqat shunday tuyuladi. Haqiqattan esa moment usulida hisoblash ancha soddalashadi.