3-mavzu: Matrisalar. Determinantlar. Reja

Determinant.
Kvadrat matritsaning determinanti. Bizga kvadrat matritsa
berilgan bo‘sin:

Bu yerda 𝕂=ℝ yoki, ℂ. Bu matritsaning ixtiyoriy satr va ustunidan olingan n ta
elementlarining ko‘paytmasini qaraymiz: … . Ko‘paytmaning ko‘paytuvchilaridagi indekslaridan
o‘rniga qo‘yishni tuzib olamiz.
Demak, har bir ko‘paytuvchiga bitta o‘rniga qo‘yishni mos qo‘yish mumkin. Aksincha, har bir n-tartibli o‘rniga qo’yishga matritsadan yuqoridagi kabi olingan ko‘paytmani mos qilib qo‘yishimiz mumkin. Ko‘paytmani ishorasini o‘rniga qo‘yishni signaturasi bilan aniqlaymiz, ya’ni
.
Quyidagi ko‘paytmani hosil qilamiz: … . Hamma o‘rniga qo‘yishlar soni ta bo‘ladi. Bu elementlarning

yig‘indini qaraymiz.
Ta’rif. Yuqorida hosil bo‘lgan (2) yig‘indiga berilgan n-tartibli A kvadrat matritsaning determinant deyiladi. Determinant odatda detA yoki kabi belgilanadi.
Shunday qilib, determinantni quyidagicha yozib olishimiz mumkin:

Agar (3) ifodada n=1, 2, 3 deb olsak, mos ravishda quyidagi ifodalarni olamiz:

Masalan, uchunchi tartibli determinantning to‘rtinchi ko‘paytmasini olsak, unga uchunchi tartibli o‘rniga qo‘yish mos qo‘yilgan bo‘lib, bu o‘rniga
qo‘yishning inversiyasi 3 ga teng. Shuning uchun ko‘paytma manfiy ishora bilan
ishtirok etadi.
3-misol.

Determinantning xossalari.
1-xossa: Matritsani transponirlash natijasida determinantning qiymati,
o‘zgarmaydi, ya’ni .
2-xossa: Agar determinantning biror satri ikkita qo‘shiluvchilardan iborat bo‘lsa, u holda bu determinant satrlari shu qo‘shiluvchilardan iborat bo‘lgan ikkita determinantning yig‘indisidan iborat bo‘ladi, ya’ni:

3-xossa: Agar determinantning biror-bir satri umumiy ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa, u holda bu umumiy ko‘paytuvchini determinant belgisidan tashqariga chiqarib yozish mumki, ya’ni