3-mavzu. Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operasion hisobning asosiy teoremalari. Originalni tasvir bo’yicha tiklash usullari. Differensial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operasion hisob yordamida

3-mavzu. Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operasion hisobning asosiy teoremalari. Originalni tasvir bo’yicha tiklash usullari. Differensial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operasion hisob yordamida yechish.

Haqiqiy argument - ning qiymatlarda aniqlangan funksiya berilgan bo’lsa (yoki desak, t<0 bo’lganda deb olamiz) va – funksiya chekli sondagi 1 tur uzilishga ega bo’lsin.

Bu funksiya cheksiz intervalda integrallanuvchi bo’lishi uchun

bo’lishi kerak ( ). Endi funksiyaning kompleks funksiyaga ko’paytmasini ko’ramiz. (bunda , )

funksiya haqiqiy argumentning komplekis funksiyasidir, haqiqatdan ham:

Quyidagi hosmas integralni ko’ramiz:

- son funksiyani o’sish ko’rsatkichi deyiladi.

(Shunga o’xshash ikkinchi integralni ham yaqinlashishini ko’rsatish mumkin). Shunday qilib mavjud va - ning biror funksiyasidir; biz uni deb belgilaymiz:

(1)

– funksiya funksiyaning Laplas tasviri yoki 1- tasvir (yoki tasviri) deyiladi. funksiya original funksiya yoki original deyiladi. F(t)- funksiyaning – originalga nisbatan tasvir ekani quyidagicha yoziladi:

yoki yoki

(1) - integralni Laplas almashtirishi deb ham yurutiladi.

Teorema. Agar ikkita va uzluksiz funksiyalar bitta bir xil tasvirga ega bo’lsalar, u holda bu funksiyalar aynan tengdir.

, va funksiyalar tasvirlarini topaylik.

1. 
   - funksiya quyidagicha aniqlangan bo’ladi;
   

Bu funksiya Xevisaydning birlik funksiyasi deyiladi va deb belgilanadi

funksiya tasvirini topamiz:

Demak: yoki

Ba’zan - funksiyani tasviri uchun

ifoda olinadi. Bu holda: demak yoki bo’ladi.

2. 
   
   

Laplas almashtirishning xossalari

I. Ixtiyoriy o’zgaruvchi ning masshtabi o’zgarganda – funksiyani tasviri. bo’lganda – funksiyani tasvirini topamiz. Ta’rifga ko’ra

itegralda almashtirishni bajarsak bo’ladi, demak

yani agar bo’lsa bo’ladi

II. Tasvirning chiziqlili xossasi

Teorema. O’zgarmas ko’paytuvchiga ko’paytirilgan bir nechta funksiyalar yig’indisini tasviri shu funksiyalar tasvirlarini mos ko’paytuvchilarga ko’paytmalarining yig’indisiga tengdir, yani

(bunda lar o’zgarmas sonlar), va bo’lsa, u holda

III. Siljish teoremasi

Teorema. Agar funksiyaning tasviri bo’lsa, u holda ning tasviri boladi. Bunda deb faraz qilinadi.

Bu teorema tasvirlar sinfini ancha kengaytiradi va ularning orginali oson topiladi.

IV. Tasvirlarni differensiallash va integrallash

Teorema 1. Agar bo’lsa u holda

bo’ladi.

Teorema . Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.