3-Mavzu. Bеzu tеorеmasi. Gorner sxemasi. Keltirilmaydigan ko'phadlar asosiy teoremasi

6.1-teorema. maydon ustida berilgan va darajasi 1 dan kichik bo‘lmagan har bir ko‘phad shu maydon ustida keltirilmaydigan ko‘phad yoki keltirilmaydigan ko‘phadlar ko‘paytmasiga yoyiladi, ya’ni

(6.1)

bo‘lib, bu yoyilma ko‘paytuvchilari o‘zgarmas ko‘paytuvchilargacha aniqlik darajasida yagonadir.

Isboti. Teorema keltirilmaydigan ko‘phad uchun ravshandir, chunki bunday ko‘phad yagona yo‘l bilan quyidagicha ifodalanadi:

.

Endi teoremani ko‘phadning darajasiga nisbatan matematik induktsiya usulini qo‘llab isbotlaymiz. Birinchi darajali ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phad bo‘lgani sababli, bunday ko‘phad uchun teorema o‘rinlidir. Darajalari dan kichik ko‘phadlar uchun teoremani o‘rinli deb hisoblab, uni - darajali ko‘phad uchun isbotlaylik.

Shunday qilib, - darajali ko‘phad berilgan bo‘lsin .

keltirilmaydigan ko‘phad bo‘lgan holni yuqorida ko‘rib o‘tdik. Shu sababli ni keltiriladigan ko‘phad deylik. Bu vaqtda

(6.2)

tenglik bajariladi.

va ning darajalari noldan katta, lekin dan kichik bo‘lgani sababli, bu ko‘phadlar uchun teorema o‘rinlidir, ya’ni ular keltirilmaydigan ko‘phadlar ko‘paytmasiga quyidagicha yoyiladi:

,

.

Bu ifodalarni (6.2) ga qo‘yib,

(6.3)

ni hosil qilamiz.

Endi (6.3) yoyilmaning yagonaligini isbotlashgina qoldi. Faraz qilaylik, ko‘phad (6.3) dan boshqa yana quyidagi keltirilmaydigan ko‘phadlar ko‘paytmasiga yoyilgan bo‘lsin:

(6.4)

(6.3) va (6.4) ni tenglashtirib, ushbu tenglikni hosil qilamiz:

(6.5)

(6.5) tenglikning chap tomoni ga bo‘lingani uchun uning o‘ng tomoni ham ga bo‘linadi. Bundan ko‘phadlarning aqalli bittasi, masalan, ko‘phad ga bo‘linadi degan xulosaga kelamiz va ushbu tenglikka ega bo‘lamiz:

(6.6)

Bu qiymatni (6.5) ga qo‘ysak,

yoki ga qisqartirsak,

(6.7)

tenglik hosil bo‘ladi.

(6.7) tenglikning chap va o‘ng tomoni ko‘phadning keltirilmaydigan ko‘phadlar ko‘paytmasiga yoyilishidan iborat. Bunda ko‘phadning darajasi noldan katta va dan kichik ekanini e’tiborga olsak, farazimiz bo‘yicha, bu ko‘phad uchun teorema to‘g‘ri, ya’ni (6.7) yoyilma o‘zgarmas ko‘paytuvchilar aniqligida yagonadir degan xulosaga kelamiz. Boshqacha aytganda bo‘lib, bundan , ya’ni

, , …,

tengliklarni hosil qilamiz. Bu tengliklarni (6) bilan birga olib, ushbu ,

, , …,

natijaga kelamiz.