3-maruza: Modellarning parametrik identifikatsiyasi Parametrlarning nuqtali baholarini topish uchun eng kichik kvadratlar va maksimal haqiqatnamolik usullarining qo‘llanilishi

3-maruza: Modellarning parametrik identifikatsiyasi Parametrlarning nuqtali baholarini topish uchun eng kichik kvadratlar va maksimal haqiqatnamolik usullarining qo‘llanilishi.

Tajriba yoki tajribaviy – analitik usullar yordamida qurilgan matematik modellar qiymati tajriba ma’lumotlari bo‘yicha aniqlanadigan noma’lum o‘zgarmaslardan tashkil topadi. Agar foydalanilayotgan modellar izlanayotgan parametrlarga nisbatan chiziqli bo‘lsa, unda ularni baholash masalasi chiziqli regressiya analizi usuli bilan, ba’zida eng kichik kvadratlar usuli bilan oson echiladi.

Noma’lum parametrlarning bahosi eng kichik kvadratlar usulida nomuvofiqliklar kvadratlarining yig‘indisini minimumlashtirish yordamida olib boriladi. Bunday yondoshuv ko‘pgina muhim xolatlarda optimallik xususiyatlarni baholashga olib boradi.
Kuzatilayotgan qiymatni
(3.34)
ko‘rinishiga keltiramiz, bu erda —bahoga ega parametrlar; -ma’lum koeffitsientlar; ( - kuzatuv natijalari; ( ) – kuzatuvning mo‘ljaldagiga nisbatan xatosi, chunki
(3.35
YAni kuzatuvning xatolari bir xil: nolinchi matematik kutilma va mustaqil dispersiyaga ega bo‘ladi.
(3.34) kuzatish sxemasi chiziqli model deb ataladi. Bu modelni matritsa shaklida yozish qulay. -kuzatuvning vektor-ustuni;
- (n * r)-to‘g‘ri burchakli matritsaning koeffitsientlari; - parametrlarning vektor-ustuni; - xatoarning vektor-ustuni, ya’ni


(3.36)

Unda (3.34) shartning matritsa shakli

(3.37)
munosabat bilan , (3.35) shart esa
(3.38)
munosabat bilan teng kuchli bo‘ladi, bu erda - kuzatuv xatolarining kovariatsion matritsasi; I - birlik ( ) matritsa; - transponirlash belgisi.
Ushbu holda eng kichik kvadratlar usuli
(3.39)
kvadratlar yig‘indisini minimumlashtirishga qo‘llaniladi. Q minimum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti
(3.40)yoki
(3.41)
ko‘rinishga ega.
(3.41) shart parametrga nisbatan chiziqli tenglamalar tizimi ko‘rinishida yoziladi:
, (3.42)
bu erda
(3.43)
Ta’kidlash kerakki, bu tizim yomon tomonga o‘zgarmagan, ya’ni uning aniqlovchisi , (3.44)
bo‘lib, uning yagona echimini topamiz. Bu kattaliklar eng kichik kvadratlar bo‘yicha olingan baholar deb ataladi. Ularni matritsa shaklida qidirish qulay. (3.36) belgilashdan foydalanib (3.39) ni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
(3.45)
Bunda (3.42) tizim quyidagi ko‘rinishni qabul qiladi:
(3.46).
Matritsa — buzilmaganligini, bu shart shartga teng kuchliligini ta’kidlab, (3.46) dan qidirilayotgan bahoning vektor ustunini topamiz:
( ) (3.47).
Biroq modellarning ko‘pchiligi parametrlar bo‘yicha nochiziqli, chunki ularni baholashning usullari ahamiyatli darajada murakkablashgan. Bunday modellarni identifikatsiyalash protseduralarini yanada to‘liqroq ko‘rib chiqamiz. Apparatga jarayonni o‘tkazuvchi mexanizmning m ta modellariga ega bo‘linsin va ular quyidagi ko‘rinishda keltirilsin:
(3.48)
(3.49)
yoki
(3.50)
(3.51)
bu erda:
- j-nchi model uchun noma’lum parametrlarning - o‘lchamli vektori;
boshqariladigan o‘zgaruvchilarning q o‘lchamli vektori;
- kuzatishlarni qayta tiklanuvchanligining xatolik vektori;
u - tajriba raqami;
M – matematik kutilmaning belgisi;
D - o‘lchashlarning dispersion-kovariatsiya matritsasi;
² ,V – D ni tavsiflovchi skalyar ko‘paytuvchi va ijobiy aniqlangan matritsa;
- o‘lchashlarning Q o‘lchamli vektori;
- tizimlar javobining Q o‘lchamli vektori.
Tasodifiy kattaliklarning o‘rtasida odatda shunday bog‘liqlik mavjud, bir kattalikning o‘zgarishi boshqalarining taqsimlanishini o‘zgartirib yuboradi. Bunday bog‘liqlik stoxastik bog‘liqlik deb ataladi.
Agar ikki X va U tasodifiy kattaliklar bog‘liq bo‘lmasa, unda bu kattaliklar yig‘indisining dispersiyasi bu kattaliklar dispersiyalari yig‘indisiga teng bo‘ladi:
D(X+ Y) = D(X)+D(Y). (3.52)
Agar ushbu tenglik bajarilmasa, unda X va Y kattaliklar bog‘liq hisoblanadi. Dispersiya va matematik kutilmaning xossalari ta’riflaridan quyidagi munosabat kelib chiqadi:
(3.53)

Agar (3.54)

bo‘lsa, X va Y kattaliklar orasida bog‘liqlik mavjud bo‘ladi. Oxirgi kattalik X va Y tasodifiy kattaliklarning kovariatsiyasi deb ataladi va bilan belgilanadi.
- tasodifiy kattaliklar matematik kutilmasining vektor ustuni, B –tasodifiy kattaliklarni tanlanmaviy qiymatlarini vektori bo‘lsin. Unda
(3.55)
bu erda - b_j tasodifiy kattaliklarning dispersiyasi; covb_jb_n – b_j va b_n tasodifiy kattaliklarning kovariatsiyasi.
Oxirgi tenglamaning o‘ng qismidagi matritsa dispersion – kovariatsiya matritsasi deyiladi. Uning diagonal elementlari o‘zida tasodifiy kattaliklarning dispersiyasini, diagonal bo‘lmaganlari esa ular o‘rtasidagi statistik bog‘liqlikni aniqlovchi tasodifiy kattaliklarga mos keluvchi kovariatsiyani nomoyon qiladi.
Avval yagona javobli modellarni, ya’ni bitta chiqish o‘zgaruvchili modellarni qo‘rib chiqamiz. Modellarning noma’lum parametrlarini baholashda R.Fisher tomonidan taklif qilingan va katta tanlanmalar uchun olingan baholashning ishonchlilik intervali hamda gipotezalarning ko‘p protsedurali tekshiruvlariga asoslangan maksimal haqiqatnamolik usulidan juda kam foydalaniladi.
Taqsimlanish qonuni f(x, v) ehtimollik zichligi bilan berilgan uzluksiz tasodifiy kattalikka ega bo‘linsin. Haqiqatnamolik funksiyasini tuzamiz:
(3.56)
bu erda —tasodifiy kattaliklarning qayd qilingan qiymatlari, esa – parametrlarning vektori.
Usulning mohiyati shundaki, maksimal haqiqatnamolik parametrlarning bahosi sifatidagi ni imkoni boricha katta qiymatga erishtiradigan qiymatlardan tashkil topadi.
SHunday qilib ning o‘zi qiymatlarda ham maksimumga erishadi, lekin amaliyotda ba’zan haqiqatnamolikning logarifmik funksiyasi deb ataluvchi ln = L funksiyadan foydalanish qulayroq. qiymatlar tanlanmaning funksiyasi hisoblanadi va maksimal haqiqatnamolikning bahosi deb ataladi.
Maksimal haqiqatnamolik bahosini topish uchun quyidagi haqiqatnamolik tenglamalar tizimini ga nisbatan echish lozim:
(3.57)
Agar xatolarning qayta tiklanuvchanlik taqsimoti oilasi muntazamlik shartlariga javob bersa, unda ko‘p hollardagi maksimal haqiqatnamolik baholari tajribalar hajmi chegaralanmagan holda o‘sganda haqiqiy qiymatga intilish ehtimolligi bo‘yicha olingan parametrlarning baholari mohiyatidan kelib chiqib asoslangan hisoblanadi. Muntazamlilik va asoslanganlik shartlari parametrlar baholarining asimptotik foydaliligini ta’minlaydi. Bundan tashqari, agar o‘lchash xatolarining taqsimlanishi parametrik eksponensial tipga tegishli bo‘lsa, unda noma’lum parametrlarning vektor bahosi etarli hisoblanadi, ya’ni boshlang‘ich tajriba ma’lumotlarida ega bo‘linadigan barcha zaruriy informatsiyalardan tashkil topadi. SHunday qilib, qidirilayotgan parametrlarning maksimal haqiqatnamolik usulidan topiladigan bahosi xatolarning taqsimlanish funksiyasiga etarlicha kuchsiz chegara qo‘yilganda va katta tanlanmalarda ko‘pgina muhim optimal xususiyatlarga ega bo‘ladi. SHunday qilib, noma’lum parametrlarning maksimal haqiqatnamolik usuli bo‘yicha topiluvchi baholari xatolar taqsimoti funksiyasiga etarlicha kuchsiz chegaralanish berilganda va katta tanlanmalarda ko‘pgina muhim optimal xususiyatlarga ega.
Maksimal haqiqatnamolik usulidan amaliy foydalanilganda odatda kuzatish xatolarining taqsimot zichligining ma’lum turi talab qilinadi, sababi modellarning noma’lum parametrlarini baholash bilan bir qatorda taqsimot zichligining noma’lum parametrlarini ham baholash mumkin.
Faraz qilamiz, modellar uchun bir qancha yo‘llar bilan parametrlarning baholari olingan. Unda (3.48) tenglama bilan mos ravishda j-nchi mo­delni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(3.58)
Bu erda - berilganlar uchun e_i tajriba xatolarining baholari; n – kuzatishlar soni.
n ta tajribalar o‘tkazilgan bo‘lsin. tasodifiy kattaliklarning taqsimlanish zichligini orqali, tasodifiy vektorning qo‘shma taqsimlanish zichligini esa orqali belgilaymiz, bu erda -taqsimlanish zichligining parametrlar vektori bo‘lib, xususan qayta tiklanish dispersiyasi va matematik kutilmalar kattaliklarining normal zichliklari uchun tashkil qilinadi.
Unda ifodaga (3.58) munosabatdagi kattaliklarni qo‘yish natijasida olingan tanlanmalarning haqiqatnamolik funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(3.59).
e_i (i = 1, 2, ..., n) mustaqil tasodifiy kattaliklar uchun tanlamalarning haqiqatnamolik funksiyasi quyidagicha aniqlaniladi:
(3.60).
SHunday qilib, kuzatishlar xatolari tanlanmalarining haqiqatnamolik funksiyasi , kuzatishlar xuddi bir qancha fiksatsiyalangan kattaliklar sifatida, parametrlar esa xuddi o‘zgaruvchilar sifatida qaralganda parametrlar uchun ham kuzatishlar to‘plami uchun ham tanlanmalarning taqsimlanish zichligi hisoblanadi.
Maksimal haqiqatnamolik usuliga muvofiq parametrlarning eng yaxshi bahosi bo‘lib, kuzatishlarning olingan haqiqiy qiymatlariga mos kelishining maksimal ehtimolligi bilan yoziladigan baholar hisoblanadi. SHuning uchun parametrlarni baholash masalasi quyidagi shartni qanoatlantiruvchi va aniqlikda olib boriladi:
(3.61)
Taqsimlanish zichligidan kelib chiqib kuzatishlar xatolarining ehtimolligi e konkret ko‘rinishli funksiya bilan aniqlanadi. Agar (i = 1, 2, ...,n) tasodifiy kattaliklar mustaqil va nolli o‘rtacha va ma’lum dispersiya bilan normal taqsimlangan bo‘lsa, unda funksiya quyidagi ko‘rinishni qabul qiladi:
(3.62)
Unda parametrlarning maksimal haqiqatnamolik usuli asosida olingan baholari eng kichik kvadratlar usuli bilan olingan baholarga, ya’ni kuzatish xatolari kvadratlarining mutlaq yig‘indisi minimallashtirilgandagi baholarga ekvivalent bo‘ladi:
(3.63)
Noma’lum, lekin teng dispersiyalarda kuzatishlarning (3.63) ifodasi quyidagi ko‘rinishga o‘tadi:
(3.64)
SHuni qayd qilish kerakki, kuzatishlarning xatolari normal taqsimlanganda parametrlarning maksimal haqiqatnamolik usuli va eng kichik kvadratlar usuli bilan topilgan baholari bir – biriga mos keladi va shuning uchun ham ular umumiy optimal xossalarga ega.
Ko‘p echimli modellar uchun, ya’ni bir qancha o‘zgaruvchan diodli modellar uchun tanlanmalarning haqiqatnamolik funksiyasi tanlanmalar xatolarining mustaqil normal taqsimlanishida quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(3.65)
bu erda -o‘lchamli o‘lchashlar vektori; o‘chamli vektor funksiya bo‘lib, o‘lchashlarning dispersion-kovariatsiya matritsasi modeliga mos keladi; ^t — transportirlash indeksi; bunda
(3.66)
(3.67)
Maksimal haqiqatnamolik tamoyili bilan mos ravishda parametrlarning maksimal haqiqatnamoligi bahosi o‘zgarishlarning ma’lum dispersion-kovariatsiyali matritsasida ni maksimallashtiradi, agar vektor parametrlar kattalikni minimalashtirsa quyidagi kelib chiqadi:
(3.68)
Agar Matritsa - diagonal matritsa bo‘lsa, unda o‘zida qoldiqlar kvadratlarining mutlaq yig‘indisini nomoyon qiladi. Ravshanki, Q = 1 da (3.68) ifoda (3.63) ifoda bilan mos tushadi.
Agar kuzatishlar xatolarining dispersiyaviy – kovariatsiya matritsasi tekshirilmaganligi noma’lum bo‘lsa, unda Bayes yondoshuvidan foydalanib parametri bo‘yicha minimumlashtirilib maksimal haqiqatnamolik parametrlarining baholari olinadi:
(3.69)
Kuzatuvlarning xatolari normaldan eng yaxshilariga taqsimlangan hollarda maksimal haqiqatnamolik usulidan foydalanish (3.63), (3.64), (3.68) larga qaraganda hisobiy va tajribaviy ma’lumotlarning yaqinligi darajasini tavsiflovchi boshqa mezonlarga olib boradi. Kamdan – kam hollarda, agar xato Laplas bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsa, unda yagona javobli vaziyatlar uchun eng kichik modullar usulidan quyidagi mezonga mos ravishda foydalanish lozim:
(3.70)