3-маъруза. Maтематик моделни қуриш методари режа Математик моделлаштириш асослари

1.6. Математик моделни ечиш усуллари
Юқорида таъкидланганидек, объектни математик моделлаштириш ҳар хил тенглама, тенгсизлик ёки уларнинг системаларини ечишга келтирилади. Уларни ечиш усулларини умуман олганда уч турга ажратиш мумкин: аналитик, сонли ва сонли-аналитик усуллар.
Аналитик усул - масала ечимини аниқ математик формулалар билан(аналитик кўринишда) ифодалашдир. Бу усул аниқ усул ҳисобланиб, унда масала ечими берилган бошланғич қийматларни ўз ичига олган математик формулалар кўринишида ифодаланади. Одатда аналитик усулдан оддий математик модел билан ифодаланадиган масалаларни ечишда фойдаланилади. Чунки мураккаб масалаларнинг ечимини ҳар доим ҳам аниқ формула кўринишида ифодалаш имкони бўлавермайди. Аналитик усулга мисол сифатида чизиқли алгебраик тенгламалар системасини Крамер қоидаси, Гаусс ёки тескари матрица каби ечиш усулларини келтириш мумкин.
Сонли усул – тақрибий ечиш усули ҳисобланиб, олий математика фанининг ҳисоблаш математикаси бўлимида ўрганилади. Бу усулга кўра математик моделда берилган формулалар, тақрибий равишда ўзига яқин (эквивалент) ҳамда содда кўринишга эга бўлган формулалар билан алмаштирилади. Масалан функция ҳосиласи, чекли айирмага; функциянинг аниқ интеграли эса чекли йиғиндига алмаштирилади. Содда кўринишга келтирилган модел ЭҲМ ёрдамида ечилади ва масала ечими график ёки сонлар жадвали кўринишида ифодаланади. Сонли усулларга мисол сифатида транцендент тенгламаларни оралиқни тенг иккига бўлиш, урунмалар, ватарлар ёки дифференциал тенгламаларни Эйлер, Рунге-Кутта, чекли айирмалар ёрдамида ечиш усулларини келтириш мумкин.
Сонли усуллардан бири итерация усулидир. Тақрибий ечиш усули итерация усули дейилади, агар номаълум устида чексиз такрорланувчи амаллар бажарилиб, ҳар бир амаллардан кейин номаълум қиймати аниқлаштирилса, шу билан бирга кейинги амалларни бажаришда номаълумнинг олдинги аниқлаштирилган қийматидан фойдаланилса.
Сонли-аналитик усул – бу юқорида айтилган икки усулнинг комбинациясидан ташкил топган усулдир. Бу усулда масала ечими асосан хосмас интеграл, чексиз қатор, махсус функциялар ёки уларнинг комбинациялари кўринишида ифодаланади. Бу усулда қаралаётган масала ечими аналитик кўринишда ёзиб қуйилади, лекин сонли натижалар олинаётганда баъзи бир тақрибий ҳисоблашлар амалга оширилади. Сонли-аналитик усулларга мисол тариқасида Бубнов-Галёркин ёки Фурье усулларини келтиришимиз мумкин.
Умумий тасаввурлар
Тизим – бир вақтнинг ўзида ягона объект хамда мақсадга эришиш учун тўпланган элементлар йиғиндиси сифатида тушунилади. Тизимлар бир-биридан таркиби ва қандай мақсадда қўлланилиши билан ажратилади Ҳар ҳил элементлар ва ҳар ҳил мақсадларда қўлланиладиган тизимларга мисоллар келтирамиз: