3-ma’ruza Funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik

Uzluksizlik .matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biridir. Matematika uzluksiz funksiya tushunchasiga birinchi navbatda turli harakat qonunlarini o’rganish natijasida keldi. Fazo va vaqt uzluksiz, masalan: harakatdagi nuqtaning bosib o’tgan yo’li ning vaqtga bog’lanishini ifodalovchi qonun uzluksiz funksiyaga misol bo’ladi.
Qattiq jismlar, suyuqlik va gazlardagi holatlar hamda jarayonlar uzluksiz funksiyalar yordamida tavsiflanadi. Bunday uzluksiz jarayonlar iqtisodiyot modellarida ham mavjud. Bunday jarayonlar mexanika fizika va bir qancha maxsus fanlarda muayyan holda o’rganiladi.
Matematikada uzluksiz jarayonni umumiy holda o’rganamiz.
Funksiya orttirmasi. funksiya biror kesmada aniqlangan va shu kesmadagi biror nuqta bo’lsin. argumentning keyingi qiymati bo’lsa, ga argument orttirmasi deyiladi (1-chizma).



y











y











x

















O

O



x

1-chizma 2-chizma

funksiyaning qiymatlari orasidagi farqqa funksiya orttirmasi deyiladi va odatda bilan belgilanadi. yoki .
1-chizmadan ko’rinadiki da bo’ladi.
1-misol. funksiyaning nuqtada argument orttirma olgandagi funksiya orttirmasini toping.
Yechish. funksiyaning boshlang’ich nuqtadagi qiymati. funksiyaning keyingi qiymati, demak, funksiya orttirmasi

bњladi.
Shunday qilib, .
2. Funksiya uzluksizligi ta’riflari. 1-ta’rif. funksiya nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lib, argumentning nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, ya’ni

bo’lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi (2-chizma). Bu ta’rifga qo’yidagi ta’rif ham teng kuchlidir.
2-ta’rif. nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada chekli limitga ega bo’lib, bu limit funksiyaning nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni

bo’lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Funksiya uzluksizligi ta’riflari quyidagi shartlarni o’z ichiga oladi:

1. 
   funksiya nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan;
   

2) funksiyaning nuqtadagi chap va o’ng limitlari

mavjud;
3) nuqtada chap va o’ng limitlar o’zaro teng, ya’ni

4. 
   chap va o’ng limitlar funksiyaning nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni
   
   

2-misol. funksiyaning nuqtada uzluksizligini tekshiring.
Yechish. Ma’lumki, funksiya nuqtada va uning istalgan atrofida aniqlangan. Uzluksizlikni 1-ta’rifga asosan tekshiramiz. Buning uchun nuqtadagi funksiya orttirmasini topamiz:

argument orttirmasi ga intilganda limitga o’tamiz.

.
Shunday qilib, da nuqtada , bu esa 1-ta’rifga asosan funksiya uzluksiz ekanligini bildiradi. Bu misolda nuqta o’rniga ixtiyoriy nuqtani olish mumkin(masalan, uchun uzluksizlikni tekshiring).
Funksiya oraliqning hamma nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, u shu oraliqda uzluksiz deyiladi.
2-misolda funksiya oraliqning hamma nuqtalarida uzluksizligi ravshan. Demak, funksiya oraliqda uzluksiz funksiyadir.