|
2-§. To’rtburchak turlari xossalarini o’rganish bo’yicha isbotlashga doir masalalardan namunalar.
1- masala. Parallelogrammning diagonali burchagining bissektrisasi bo’la olmasligini isbot qiling.
Isbot: (Teskaridan faraz qilish metodi bilan isbot qilamiz ). ABCD parallelogramda DAC = BAC (1) bo’lsin deylik, u holda, AD BC va AC kesuvchi bo’lgani uchu DAC = BCA (2). (1) va (2) dan:
BA= BCA.
Shu sababli ABC – teng yonli AB = BC bu esa masala shartiga zid. Bundan ko’rinadiki, farazimiz noto’g’ri. Demak, DAC BAC.
2- masala. Parallelogrammning o’zi va uning dioganaliga parallel bo’lgan to’g’ri chiziq berilgan. Parallelogrammning har ikki qarama-qarshi tomonining davomlari bu to’g’ri chiziqdan teng kesmalar ajratadi.
Shuni isbot qiling.
Berilgan: ABCD parallelogramm BD –diagonal, a BD (4-chizma). Isbot qilish kerak: .
Isbot. BD II bo’lgani uchun parallelogrammdir. Bundan: (1). Shunga o’xshash, BD va B bo’lgani uchun (2). (1) va (2) lardan:
3- masala. Parallelogramm ichki burchaklarining bissektrisalari o’zaro kesishib to’g’ri to’rtburchak hosil qiladi. Shuni isbot qiling?.
Berilgan: ABCD parallelogrammda to’g’ri chiziqlar mos ravishda A, B, C, D larning bissektrissalari (5-chizma).
Isbot qilish kerak: to’g’ri to’rtburchak.
Isbot. Parallelogrammning xossalariga ko’ra: A + B = (1) bissektrissasining ta’rifiga ko’ra (1) dan ekanini B1
e’tiborga olsak, da . Vertikal burchaklar bo’lgani uchun yoki Shunga o’xshash:
Demak, to’g’ri to’rtburchak.
4- masala. ABCD to’g’ri to’rtburchakning D uchidan AC diagonaliga DE perpendikulyar tushurilgan. Bu perpendikulyar bilan ikkinchi diagonal orasida hosil bo’lgan burchak AC diagonalining to’g’ri to’rtburchakning qo’shni tomonlari bilan hosil qilgan burchaklari ayirmasiga teng bo’ladi. Shuni isbot qiling.
Berilgan: ABCD to’g’ri to’rtburchakAC, BDdioganallar O nuqtada kesishadi;
DE AC(6-chizma).
I
sbot qilish kerak: ODE = BAC - DAC.
Isbot berilishiga ko’ra: + (4) AB=BO bo’lgani uchun = (2), (6-chizma)
(3) (vertikal burchak bo’lgani uchun), bundan (2) va (3) larga ko’ra:
DOE= –2( BAC)=2*( ). da: -[ ]=2*( )- yoki OD= BAC- DAC.
5- masala. Rombning diagonallari o’zaro teng bo’la olmasligini isbot qiling.
Berilgan: ABCD rombda ABC BCD, AC,
BD – diagonallar O nuqtada kesishadi (7-chizma).Isbot qilish kerak: AC BD. Isbot. (teskarisidan faraz qilish metodi bilan isbot qilamiz). Faraz qilaylik, ABCD rombda AC =BD bo’lsin. U holda romb diagonallarining xossasiga ko’ra AO=BO=CO=OD bo’ladi. Shularga ko’ra to’gri burchakli AOB= BOC= COD=DOA, bulardan ABO= CBO= BCO= DCO= , bundan: ABO= BCD= . Bu esa shartga zid. Bundan ko’rinadiki, qilgan farazimiz noto’g’ri. Demak, AC BD.
6- masala. Parallelogrammda katta tomonga kichik balandlik mos keladi. Shuni isbot qiling.
Berilgan: ABCD parallelogrammda AD CD, BE,BH mos ravishda bu tomonlarga tushirilgan balandliklar (8- chizma). Isbot qilish kerak:BE BH.
Isbot. ABCD parallelogrammning A va B uchlaridan boshlab kesmalar ajratamiz hamda nuqtalarni birlashtiramiz. Natijada romb hosil bo’ladi. Parallelogrammning BH balandligi rombning nuqtada kesib o’tsin. Rombning bir uchidan chiquvchi balandliklar teng ekanligidan BE = , lekin BH. Demak, BE BH.
7- masala. (Arximed masalasi.) parallelogrammning tomonlariga tashqariga qaratib kvdratlar yasalgan. Bu kvadratlarning markazlarini ketma-ket birlashtirilsa, kvsadrat hosil bo’ladi. Shuni isbot qiling:
Berilgan: ABCD parallelogramm. –mos ravishda parallelogrammning AB, BC, CD, DA tomonlari tashqi sohada yasalgan kvadratlar, nuqtalar mos ravishda bu kvadratlarning markazlari
(9-chizma)
Isbot qilish kerak: -kvadrat.
Isbot: buning uchun (1) va = (2) ekanligini ko’rsatish kerak. (1) munosabatning to’g’riligi shtrixlangan uchburchaklarning tengligidan kelib chiqadi. Endi (2) munosabatning to’g’riligini ko’rsatamiz. va - umumiy bo’lgani uchun: lekin Demak, .
8- masala. To’g’ri to’rtburchakli ABC uchburchakning AC va BC tomonlariga tashqi sohada va kvadratlar chizilgan, hamda tushirilib to’g’ri chiziqlar H nuqtada kesishguncha davom ettirilgan. Quyidagilarni isbot qiling:
1). nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi.
2). AB =
3).
4). HC ⊥AB (9-chizma).
Isbot. 1). Bunga ko’ra nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi.
2). CD⊥AB ni o’tkazamiz. U holdato’g’ri burchakli ACD = larda:
ACD = (tonomonlari o’zaro perpendikulyar bo’lgan burchaklar bo’lgani uchun), berilishiga ko’ra: .
Shularga ko’ra to’g’ri burchakli ACD,
(10-chizma)
bundan AD= (1). Shunga o’xshash to’g’ri burchakli DCB= FB , bundan DB= (2).(1)va(2)larni hadlab qo’shamiz. AD+DB = + yoki AB= + .
3). Kvadrat diaganalining xossasiga ko’ra: , bunga ko’ra .
. To’g’ri burchakli HC va ABC larda berilshicha ko’ra: AC=C , BC=C . Shularga asosan to’g’ri burchakli ABC= HC , undan: CAB= HC (3). Ammo CAB= DCB (4)(tomonlari mos ravishda perpendikulyar bo’lganburchaklar bo’lganin uchun). (3) va (4) dan HC = DCB. Bunga ko’ra nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi, ya’ni HCD to’g’ri chiziq. Lekin yasashimizga ko’ra:CD⊥AB. Demak,HC⊥AB.
9- masala. Agar qavariq to’rtburchak ichki qarama-qarshi tomonining o’rtalarini birlashtirishdan hosil b’lgan kesma uning qolgan ikki tomoni yig’indisining yarmiga teng bo’lsa bunday to’rtburchak trapetsiya bo’lishini isbotlang (11-chizma).
Berilgan. ABCD qavariq to’rtburchakda E va K nuqtalar AB va CD tomonlarining o’rtalari, (1).
Isbot qilish kerak: ABCD trapetsiya.
Isbot. ABCD to’rtburchakning dioganalini o’tkazib, uning o’rtasi Onuqtani belgilaymiz. U holda ABC da: (2) (EO – o’rta chiziq bo’lgani uchun). Shunga o’xshash ACD da *AD (3) (OK – o’rta chiziq bo’lgani uchun).
(2) va (3)larni hadlab qo’shamiz: yoki (4). (1) va (4)larga ko’ra: EO+OK=EK, ya’ni: OEK to’g’ri chiziq. Uchburchak o’rta chizig’ining xossasiga ko’ra: EK BC va EK AD. Shularga asosan: AD BC, ya’ni ABCD trapetsiya.
10- masala. Teng yonli ABCD trapetsiyaning (AB=CD) dioganallari O nuqtada li burchak hosil qilib kesishadi. Bunda AO, OB vaCD kesmalarning o’rtalari bo’lgan nuqtalarni ketma-ket tutashtirilsa, teng tomonli uchburchak hosil bo’ladi. Shuni isbot qiling (12-chizma).
12-chizma.
Isbot. AOB da: o’rta chiziq bo’lgani uchun:
. D nuqta bilan nuqtani birlashtiramiz.
Bunda: AOD teng tomonli va to’g’riburchakli. U holda . Lekin CD=AB. Demak, (1). Shunga o’xshash C nuqta bilan B nuqtani tutashtiramiz.
COB teng tomonli va OB . Shunga asosan: to’g’ri burchakli. U holda: yoki (2). (1) va (2) lardan: . Demak, – teng tomonli.
Do'stlaringiz bilan baham: |
