3 g-guruh talabasi Urazbayev Saburjanning 2021-2022-oʻquv yiliga belgilangan amaliyot

2-mavzu. Parabolik tipdagi differensial tenglamalarni MathCAD dasturiy vositalari yordamida taqribiy yechishning amaliy dasturlar paketini yaratish
Agar o'rganilayotgan jarayonda vaqt bo'yicha jarayonning kechish tezligi o'zgarmas bo'lsa, bu jarayonlarning matematik modeli parabolik tipdagi tenglamalar orqali ifodalanadi. Bunday jarayonlarga quvurlardagi qovushqoq suyuqliklarning nostasionar harakati jarayonlari, g'ovak to'siqlarning issiqlik o'tkazuvchanlik masalalari, diffuziya jarayonlari va boshqalar kiradi.

Parabolik tipdagi tenglamalarni xususiy holda (fazoviy koordinata bo'yicha bir o'lchov bilan chegaralanib) quyidagicha yozish mumkin:
(1)
to'rni quramiz (1-rasm). To'r tenglamalarini olish uchun hosila ayirmali sxemalar bilan almashtiriladi:
(2)
ni almashtirish uchun quyidagi taqribiy ayirmali formulalarni biridan foydalanish mumkin:
(3)
Bundan tashqari, boshlang'ich va chegaraviy shartlarni ularning aproksimasiyasi bilan almashtiramiz:

Barcha almashtirishlar (1) masaladagi differensial tenglamaga mos ravishda qo'yilsa funksiya qiymatlarini to'rda hisoblashning quyidagi sxemasi hosil bo'ladi:
(4)
Bu ikki qatlamli oshkor sxemadir (2-rasm). Nolinchi qatlamda (xuddi shuningdek ) oldindan ma`lum, boshlanishida so'ngra aniq hisoblash mumkin. Ayirmali sxema turg'unligi uchun va lar bo'yicha qadamlar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

2-rasm. Ikki qatlamli ayirmaning oshkor sxemasi.
Parabolik tipdagi tenglamani MathCADda yechishni quyidagi issiqlik tarqalish masalasi yordamida ko'rib o'tamiz.
1-Masala. uzunlikdagi sterjenda issiqlikning tarqalishini aniqlang, sterjendagi boshlang'ich temperatura ixtiyoriy funksiya bilan berilgan. Sterjen uchlaridagi temperaturalar const va const ga teng.
Sterjenda temperaturaning tarqalishini ifodalovchi boshlang'ich chegaraviy masala quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

Masalani yechish uchun quyidagi parametrli kattaliklar MathCAD dasturrining ishchi oynasiga kiritiladi va yechish algoritmiga mos dasturlar paketi shakllantiriladi:


H:=parabolik( N,K,L,T,a)
yerda -temperatura o'tkazish koeffisienti, - esa sterjen materialining temperatura o'tkazish koeffisienti, -uzoqlashtirilgan issiqlik hajmi, -massaning zichligi.
Qism dastur parabolikning kiruvchi qiymatlari: -kesmani bo'lishdagi oraliqlar soni; - kesma bo'linadigan orliqlar soni; -sterjenning uzunligi; vaqt oralig'i; -differensial tenglamaning parametri. Funksiya uchta qiymatni qaytaradi: to'rda aniqlangan to'r funksiyasi, va massivlar. Dastur natijasi 3- rasmda tasvirlangan.

	0	1	2	3	4	5	6	8
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

2-masala. tenglama yechilsin. Buning uchun quyidagi funksiya parametrlarini kiritamiz.

H := parabolik (N, K, L, T, a)
Yangi parametrlarga mos parabolik funksiyasining qiymatlari quyidagi jadvaldagi va 4-rasmda tasvirlangan.

	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0
2	0
3	0
4	0
5	0
6	0
7	0
8	0
9	0
10	0	0
11	0
12	0
13	0
14	0
15	0

Parbolik tipdagi tenglamalarni oshkor sxema yordamida yechishda asosiy muammo yechimning turg'unligi va qadamni to'g'ri tanlash bo'ladi. Aks holda har bir qatlamdagi xatoliklar miqdori borgan sari yig'ilib kattalashib borishi mumkin. Bu muammoni hal etish uchun oshkormas ayirmali sxema taklif etilgan. sxemalar absolyut turg'un hisoblanadi, lekin olingan to'r tenglamani yechish algoritmi bir muncha murakkabroqdir. Oshkormas ayirmali sxemani qurish uchun ayrim almashtirishlarni qo'llab, to'r tugunlarida u funksiyaning qiymatlarini hisoblash sxemasini olamiz.

(5)
Bu tenglik ikki qatlamli oshkormas sxemani tashkil etadi.
Hosil qilingan sxemalar yechimni ochiq yozish uchun yetarli emas,shuning uchun ham ni topish uchun ning har bir qiymatida uch diagonalli algebraik tenglamalar sistemasini yechish zarur, buning uchun iterasion usullardan yoki haydash usulidan foydalanishga to'g'ri keladi. (5) tenglamalar sistemasini quyidagicha yozib olamiz:
(6)
(6) formula Zeydel usulida olingan oshkormas ayirmali sistemaning yechimini dasturlash uchun imkon beradi. Buning uchun quyidagi dasturlash parametrlari va oshkormas sxemaga mos dastur algoritm shakillantiriladi.



Dastur natijalari quyidagi jadvalda va 6-rasmda berilgan.

6-Rasm.
3-Masala. uzunlikdagi sterjenda issiqlikning tarqalishini aniqlang, sterjendagi boshlang'ich temperatura ixtiyoriy funksiya bilan berilgan. Sterjen uchlaridagi temperaturalar const va const ga teng.Sterjenning yon sirtida temperaturaning almashinishi Nyuton qonuni bo'yicha amalga oshadi. Sterjenda issiqlikning tarqalishi masalasining boshlang'ich va chegaraviy shartlari quyidagicha:

Bu yerda -almashish koeffisienti, -sterjenning ko'ndalang kesim yuzasi, sterjenning ko'ndalang kesimi perimetri.
to'rni quramiz:

To'r tenglamasini olish uchun va hosilalarni taqribiy ayirmali formulalar bilan almashtirib, quyidagi ayirmali oshkormas sxemani quramiz.

Oshkormas sxemani qo'llab, masalani Zeydel usulida yechish uchun quyidagi parametrik kattaliklar kiritiladi va masalani yechish algoritmiga mos dastur ta`minoti shakillantiriladi.

Masalani yechish algoritmiga mos dastur natijalari quyidagi jadvallarda va 7-rasmda keltirilgan.

	0	1	2	3	4	5	6	8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

7-rasm. Masalaning yechimi va uning grafigi.
Yuqorida berilgan barcha tipdagi masalalar to'r usuli algoritmi va unga mos dastur ta`minotlarini yaratish orqali yechiladi. Biroq MathCAD tizimidagi ayrim standart funksiyalar xususiy hosilali differensial tenglamani yechish imkonini beradi.
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish uchun MathCAD tizimida pdesolve va numol funksiyalari mavjud bo'lib, ulardan quyidagicha foydalaniladi. Parabolik tenglamani yechish uchun quyidagi prosedurani bajarish kerak:

1. 
   Given kalit so'zini kiritish.
   
2. 
   Tizimga kiruvchi tenglamani kiritish. Bunda tenglik belgisini qalin qilib tanlash kerak, buning uchun Ctrl+= klavishlarini birgalikda bosiladi yoki Boolean (Bul operatorlari) panelidan foydalaniladi.
   

1. 
   Boshlang'ich va chegaraviy shartlarni kiritish. Bunda hosilalar quyi indekslar sifatida kiritiladi, tenglik belgisi uchun Boolean (Bul operatorlari) panelidan foydalaniladi.
   
2.