3. funksiyasi va uning xossalari

Lemmaning Isboti (1) tenglik va вa xarakterlarning xossalaridan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, bo‘lganda
ning (1) ko‘rinishidagi ko’paytuvchilarga yoyilmasidagi ko’paytuvchilar ning yoyilmasigi mos ko’paytuvchilar bilan bir hil bo’ladi. Agarda bo’lsa, bo’ladi, ya’ni

Bundan isbotlanish talab etilgan tenglik kelib chiqadi. ni xarakterlar yig‘indisidan foydalanib yarim tekislikka osonlik bilan davom ettirish mumkin.

4-Lemma. Agar bo’lsa , U holda бўлgaнda

tenglik o‘rinli. Bu yerda

Isboti. bo’lsin. Abel almashtirishi (4-Lemma[5]) dan foydalanamiz. Unga ko’ra “agar funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz, differensiallanuvchi, ixtiyoriy kompleks sonlar va

bo’lsa U holda

tenglik o‘rinli” . Bundan foydalanib

tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerda

Bu tenglikning ikkala tomonida N→∞ da limitga o‘tib, bo‘lganda (3) ni hosil qilamiz. Lekinda shuning uchun ham(3) dagi integral bo‘lganda yaqinlashuvchi va u yerda analitik funksiyani aniqlaydi. Shuni isbotlash kerak edi.
Natija. Agar , bo’lsa, bo’ladi.
Endi quyidagi tasdiqni isbotlaymiz.
5-Lemma. Agar bo’lsa,

tenglik o‘rinli.

Isboti. Agar bo’lsa (1) ga asosan

Buning ikkala tomonini logarifmlab keyin differensiallasak quyidagilarga ega bo’lamiz:

Endi uchun funksional tenglamani qaraymiz. Uni biz primitiv xarakter bo‘lgan hol uchun isbotlaymiz. Shuning bilan 3- Lemmaga asosan ixtiyoriy xarakter бўлgaнda funksiya kompleks tekislikning barcha joyiga davom ettirilgan bo’ladi. uchun funksional tenglamaning ko‘rinishi xarakterning juft yoki toq ekanligiga, ya’ni bo’lishiga bog’liq bo’ladi. Avvalo quyidagi yordamchi tasdiqni isbotlaymiz. primitiv xarakter bo’lsin. Juft xarakter uchun funksiyani

tenglik bilan, toq xarakter uchun esa funksiyani

tenglik bilan aniqlaymiz.

6-Lemma. Yuqoridagicha aniqlangan вa funksiyalar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:

bilan ga qo‘shma xarakter belgilangan va

- Gauss yig‘indisi.
Isboti. IV.4-Lemma[5] da isbotlangan

tenglikdan foydalanamiz. Bunda va α-haqiqiy son.

Bundan va Gauss yig‘indisining aniqlanishiga ko’ra