3. funksiyasi va uning xossalari

1-Lemma. Agar , haqiqiy bosh bo‘lmagan xarakter bo’lsa, uholdaunga mos Dirixle funksiyasi ning

sohada ko’pi bilan birta oddiy haqiqiy nolga ega bo’lishi mumkin.
Isboti. haqiqiy primitiv xarakter bo’lsin. U holda va

(4)- tengsizlik va

ga Natija

([19] dagi 3-bob 3-Teorema) dan

kelib chiqadi. Bu yerda musbat o‘zgarmas son, esa (5) tenglik bilan aniqlanadi. Shunday qilib (6) ga Natija


Endi ni qaraymiz. haqiqiy primitiv xarakter bo‘lgani uchun ham (), Lekinda ning primitiv bo’lishi shart emas. Shuning uchun ham 1- Teoremadagi singari mulohaza yuritibquyidagiga ega bo’lamiz:

Bunda

Hosil bo‘lgan baholarni


tengsizlikka qo‘yamiz va , (),

debolib

ni hosil qilamiz. Agar bo’lsa, bo’ladi, shuning uchun ham haqiqiy lekin bosh bo‘lmagan xarakter bo‘lgani holdagi funksiyaning shartni qanoatlantiruvchi nollarini qarash yetarli.
dan фойdaлаniб бўлgaнda

ga ega bo’lamiz. Bu yerda

Oxirgi tengsizlikning o‘ng tomonidagi yig‘indi haqiqiy bo’ladi, chunki unga kiruvchi nollar qo‘shma kompleks. Agar ифоda ning noli bo’lsa, U holda

ga ega bo’lamiz. 1-Lemmaga Natija

Endi debolamiz U holda bo’ladi. Shunday qilib (13) dan

kelib chiqadi. Bu yerdan debolib

ga ega bo’lamiz.
Yuqoridagi singari mulohaza yuritib (14) tengsizlik ikkita qo‘shma kompleks nollar o‘rniga ikkita haqiqiy nol bo’lsa ham o‘z kuchini saqlab qoladi. Faqat Bunda ning oldidagi sonli ko’paytuvchi o‘zgaradi, ya’ni bU holda (14)ning o‘rniga

ga ega bo’lamiz. Bunda ikki karrali nol. (12), (14) va (15) lardan 3-Lemma kelib chiqadi.
Isbotning nihoyasida (11) tengsizlikning tengsizlikdan kelib chiqishini ta’kidlab o‘tamiz.
2-Lemma. Agar 1moduli bo’yicha bosh xarakter bo’lsa, U holda funksiya

sohada nolga ega emas.
Bu Lemma J.B.Rosser, L.Schoenfeld [19] tomonidan isbotlangan.