3-§. n o'lchovli affin va vektor fazolarini o'rganish

Vektorlarni skalyar ko‘paytirish

Ikki va vektorning skalyar ko‘paytmasi deb, bu vektorlar uzunliklarini ular orasidagi burchak kosinusi bilan ko‘paytmasiga teng bo‘lgan songa aytiladi va yoki bilan belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra,
(2.2.7)
Skalyar ko‘paytma tushunchasining manbai mexanikadir. Haqiqatan, agar ozod vektor qo‘yilgan nuqta vektorning boshidan oxiriga siljuvchi kuchni tasvirlasa, bu kuch bajargan ish ushbu tenglik bilan aniqlanadi:

Agar ko‘paytmani ko‘rinishda yozib, ekanini e’tiborga olsak, ni hosil qilamiz.
ekanligini e’tiborga olsak, ni hosil qilamiz. Demak,
(2.2.8)
formulalar o‘rinli. Boshqacha aytganda, ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi ulardan birining uzunligi miqdori bilan ikkinchisining shu vektor yo‘nalishidagi proeksiysi ko‘paytmasiga teng.

2.9-chizma.
Agar ikki vektor orasidagi burchak ga teng bo‘lsa, ular ortogonal vektorlar deyiladi.

2.6- misol.
Agar va vektorlar koordinatalari bilan berilgan, ya’ni:
.
bo‘lsa vektorning vektordagi proyeksiyasini toping.
► , (6.8) dan formulani hosil qilamiz. . ◄

Skalyar ko‘paytmaning bir qator eng sodda xossalarini keltiramiz:
Teorema 2.1. Agar bo‘lsa, u holda va vektorlar ortogonal bo‘ladi.

Teorema 2.2. Har qanday vektorning shu vektorning o‘ziga skalyar ko‘paytmasi bu vektorning uzunligi kvadratiga teng, ya’ni
(2.2.9)

Teorema 2.3. Skalyar ko‘paytma o‘rin almashtirish qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni ixtiyoriy ikki va vektorlar uchun munosabat o‘rinli.