202-guruh(kechki) guruh

1-teorema: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0≤f(x)≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:

Isbot: Teorema sharti va aniq integral xossasiga asosan [§5, (17)], ixtiyoriy a<b<+∞ uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bunda F '(b)=f(b)≥0 bo‘lgani uchun F(b) monoton kamaymovchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan barcha b≥a uchun F(b)≤G<∞, ya’ni chegaralangan funksiyadir. Bulardan b→+∞ bo‘lganda F(b) chekli limitga ega bo‘lishi kelib chiqadi. Bu yerdan, 1-ta’rifga asosan,
,
ya’ni teorema tasdig‘i o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Misol sifatida ushbu xosmas integralni qaraymiz:
.
Bunda integral ostidagi f(x) funksiya

shartni qanoatlantiradi va
.
Demak, 1-teoremaga asosan, berilgan I xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati I≤1/4 bo‘ladi.
2-teorema: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0 ≤ g(x) ≤ f(x) va
xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti 1-teorema isboti singari amalga oshiriladi va o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola etiladi.
Masalan, xosmas integral uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, x≥1 bo‘lganda, integral ostidagi funksiya

shartni qanoatlantiradi va
.
Bu yerdan, 2-tеorеmaga asosan, berilgan I integral uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar xosmas integral ostidagi f(x) funksiya turli ishorali qiymatlarni qabul etsa, unda quyidagi teoremadan foydalanish mumkin.
3-teorema: Agar x≥a bo‘lganda |f(x)|≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va
(4)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Masalan, ixtiyoriy λ haqiqiy soni uchun
(5)
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
.
3-ta’rif: Agar

tenglikning o‘ng tomonidagi ikkala xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda tenglikning chap tomonidagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi deyiladi. Agar o‘ng tomondagi xosmas integrallardan kamida bittasi uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda chap tomondagi xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi.
Masalan,

,
ya’ni J xosmas integral yaqinlashuvchi ekan. Demak, y=1/(1+x²) , , va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shakl (2-rasmga qarang) chekli va π soniga teng yuzaga ega bo‘ladi.


2-rasm

3.