2 ва 3- тартибли детерминантлар

Mавзу:2 ва 3- тартибли детерминантлар. урнига куйишлар группаси
Р е ж а:
1. Икки номаълумли чизикли тенгламалар системаси ва иккинчи тартибли детерминантлар.
2. 3 номаълумли чизикли тенгламалар системаси ва 3-тартибли детерминантлар.
3. Урнига куйишлар группаси.
4. Жуфт ва ток урнига куйишлар.

1. Фараз этайлик бизга

a₁₁x₁ кa₁₂ x₂ к b₁ (1) a₂₁ a₂₂
a₂₁x₁ кa₂₂ x₂ к b₂ -a₁₁ - a₁₂
чизикли тенгламалар системаси берилган булсин. (1) ни x₁ ва x₂ га нисбатан ечсак
b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂ b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁
x₁к  , x₂к  (2)
a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁
лар хосил киламиз. Бу ерда махраж
dк a₁₁ a₂₂ -a₁₂a₂₁ к (3)
куринишда белгиланиб (3)га иккинчи тартибли детерминант дейилади. Демак, иккинчи тартибли детерминантни хисоблаш учун унинг бош диагоналидаги элементлари купайтмасидан иккинчи диагоналидаги элементлари купайтмасини айириш керак экан. (2) нинг суратидаги ифодаларни хам иккинчи тартибли детерминант куринишда ёзиш мумкин:
d₁к b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂к , d₂к b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁ к
Булардан фойдаланиб (2) ни
x₁к d₁ / d , x₂к d₂ / d (4)
куринишда ёзиш мумкин. (4) га (1) системани ечиш учун Крамер формуласи дейилади.
Мисол.
системани Крамер формулалари ёрдамида ечинг.
Бу ерда .
Демак, (4) га кура x₁к -5 /( -5) к 1 ва x₂к -5 / (-5) к1.
Жавоби: x₁ к 1 ва x₂к 1.
2.Энди фараз килайлик 3 та номаълумли

чизикли тенгламалар системаси берилган булсин. (5)ни x₁ ,x₂ , x₃ ларга нисбатан ечамиз. Бунинг учун унинг биринчи тенгламасини a₂₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₁ га иккинчисини a₁₃ a₃₂ - a₁₂ a₃₃ га ва учинчисини a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ га купайтириб кsшамиз. У холда
b₁ a₂₂ a₃₃ к b₂ a₁₃ a₃₂ к b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂
x₁к  . (6)
a₁₁ a₂₂ a₃₃ к a₂₁ a₁₃ a₃₂к a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂
Бунинг махражини
dк a₁₁ a₂₂ a₃₃ к a₂₁ a₁₃ a₃₂к a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ к
к
деб белгилаб олсак , (7) га 3- тартибли детерминант дeйилали. (7) нинг чап томонидан уни хисоблаш коидаси келиб чикади:

Осонлик билан куриш мумкинки, агар (7) да 1-устун элементлари a₁₁ , a₂₁ ,a₃₁ ни мос равишда b₁ ,b₂ ,b₃ лар (озод хадлар устуни) билан алмаштирсак (6) нинг сурати хосил булади, яъни (7) дан
b₁ a₁₂ a₁₃
d₁к b₂ a₂₂ a₂₃ к b₁ a₂₂ a₃₃ к b₂ a₁₃ a_{3 2} кb₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ -
b₃ a₃₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂ . (8)


( 7) ва (8) га асосан (6) ни куйидагича ёза оламиз: x₁к d₁ / d. Худди шунингдек, (5) ни x₂ ва x₃ га нисбатан ечсак x₂к d₂ / d , x₃к d₃ / d ларни хосил киламиз. Бу ерда
a₁₁ b₁ a₁₃ a₁₁ a₁₂ b₁
d₂к a₂₁ b₂ a₂₃ , d₃ к a₂₁ a₂₂ b₂
a₃₁ b₃ a₃₃ a₃₁ a₃₂ b₃ .
Мисолар. 1).
2). чизикли тенгламалар системасини ечинг.
Шунинг учун хам xк4/4к1, yк2/4к1/2; zк2/4к-1/2.
Жавоби: (1, 1/2, 1/2).
3.Урнига куйишлар группаси. Фараз этайлик, бизга n та элементга эга булган А туплам берилган булсин. Бу туплам элементларини 1,2,...,n лар билан номерлаб чикайлик. У холда А ни Aк{ 1,2,3,...,n} деб ёзиш мумкин.
1-таъриф. А тупламни узига биектив (узаро бир кийматли) акслантиришга урнига кушиш дейилади.
Тушунарлики каралаётган тупламда n! та урнига куйиш мавжуд. Бундан кейин биз s урнига куйишда 1, 2, 3, ... , n элементларнинг мос равишда i₁ ,i₂ , ... , i_n элементларга утишини куринишда белгилаймиз. Агар ва урнига куйишлар берилган булиб i_k к j_k (kк 1,2,..., n) тенглик бажарилса s ва t урнига куйишларга тенг дейилади ва sк t куринишда ёзилади. га айний урнига куйиш дейилади.
n та элементдан тузилган А тупламдаги барча урнига куйишлар тупламини S_n билан белгилаймиз. S_n даги иккита s ва t урнига куйишнинг купайтмаси деб аввало s кейин эса t урнига куйишни бажариш натижасида хосил булган урнига куйишга айтишга келишамиз.
Масалан: булсин.
У холда булади.
1 - теорема.  S_n ;  - мультипликатив группа булади.
Исботи. Группа таърифидаги шартларнинг бажарилишини текширайлик.
1)  s,t S_n  s t S_n бажарилади;
2)  s,t,l S_n  s (t l)к(s t) l булади, чунки агар
булса, бу тенглик булиб, унинг чап томони
унг томони хам дан иборат
3) булиб  s S_n учун s eкs бажарилади.
4) га тескариси булади, чунки ss ^-1 к e.
Шундай килиб группа таърифидаги барча шартлар бажарилади.  S_n ;   группага n-тартибли симметрик группа деб юритилади.
Агар урнига куйишда i₁ < i₂ < i₃ < . . .< i_n булса, у инверсияга эга эмас дейилади, акс холда инверсияга эга дейилади.
Масалан: да инверсиялар сони 1 учун 1 та, 2 учун 2 та , 3 учун 1 та, 4 учун 0 та, жами 4 та инверсия бор.
Берилган урнига куйишдаги инверсиялар сони жуфт булса, унга жуфт урнига куйиш, агарда инверсиялар сони ток булса , у холда ток урнига куйиш дейилади .
Урнига куйишдаги исталган 2 та элементнинг урнини алмаштиришга транспозиция дейилади.
Агар i_k ва i_l ларнинг урни алмаштирилса, у (i_k , i_l ) куринишда белгиланади.
2- теорема. Транспозиция натижасида урнига куйишларнинг жуфт-токлиги узгаради.
Исботи.
,
транспозиция натижасида хосил килинган булсин. У холда i_k ни i_l дан олдинга утказиш учун l-(к-1) та инверсия бажариш керак. Ундан кейин i_l ни жойига (яъни i_l-1 дан кейинги жойга ) куйиш учун l-(k-1)-1 та инверсия, жами l-kк1кl-kк1-1к2(l-k)к1 та инверсия бажариш керак.
3-теорема. n! та урнига куйишларнинг ярми n! / 2 таси жуфт ва колган ярми n!/2 таси ток булади.
Исботи. Агар n! та урнига куйишлардаги жуфтлари сони p, токлари сони q билан белгиласак, pкqкn! булади. Энди агар барча n! та урнига кушишларда транспозиция бажарсак, у холда жуфтлар токларга,токлари эса жуфтларга утади, яъни pкq, демак, pкn!/2 ва qкn!/2.
4-теорема. Жуфт урнига кушишлар туплами S*_n купайтиришга нисбатан группа хосил килади.
Бунинг исботи катъий келтиришни талабаларга хавола киламиз.< S*_n; . > да бирлик элемент айний кушиш булади. t га тескариси t^-1 S*_n булади.
Натижа. Ток урнига кушишлар туплами купайтиришга нисбатан группа булмайди.
Бунда бирлик элемент мавжуд эмас.
Мисол .
ни карайлик . S₃ к{ f₀ , f₁ , f₂ , f₃ , f₄ , f₅ } деб белгилаб олсак, куйидаги жадвалга эга буламиз. Бу жадвалда бирлик элемент eк f₀ , f₁ га тескариси f₂ ; f₂ га тескариси f₁ ; f₃ га тескариси f₃ ; f₄ га тескариси f₄ ; f₅ га тескариси f₅ . Шунингдек группанинг барча шартлари бажарилади, яъни S₃ ;   - мультипликатив группа булади.

.	f0	f1	f2	f3	f4	f5
f0	f0	f1	f2	f3	f4	f5
f1	f1	f2	f0	f4	f5	f3
f2	f2	f0	f1	f5	f3	f4
f3	f3	f5	f4	f0	f2	f1
f4	f4	f3	f5	f1	f0	f4
f5	f5	f4	f3	f2	f1	f0