2-mavzu: Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog’liqsizligi. Ehtimolliklarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari. To’la ehtimollik va Bayes teoremasi Reja

2-mavzu: Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog’liqsizligi. Ehtimolliklarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari. To’la ehtimollik va Bayes teoremasi
Reja:

1. 
   Hodisalarning bog’liqsizligi.
   
2. 
   Ehtimolliklarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari.
   
3. 
   To’la ehtimollik va Bayes formulasi.
   

A va V hodisalar birgalikda bo’lmasin hamda ularning eh-timolliklari berilgan bo’lsin. Yo A, yo V hodisaning ro’y berishi, ya’ni bu hodisalarning yig’indisi A+V ning ehtimolligini qan-day topish mumkin? Bunga quyidagi teorema javob beradi.
1-teorema (birgalikda bo’lmagan hodisalarning ehti-molliklarini qo’shish). Ikkita birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yig’indisiga teng:
. (1)
Isbot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
— elementar hodisalarning umumiy soni;
— A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni;
— V hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni.
Yo A, yo V hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni ga teng. SHuning uchun

bo’ladi.
va ekanligini e’tiborga olib,

ni olamiz.
1-natija. Bir nechta birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yi-g’indisiga teng:
. (2)
1-misol. Qutida 30 ta shar bor, ulardan 10 tasi qizil, 5 tasi ko’k va 15 tasi oq. Rangli shar chiqishining ehtimolligi to-pilsin.
Уеchish. Rangli sharning chiqishi yo qizil, yo ko’k sharning chiqishini bildiradi.
Qizil shar chiqishi (A hodisa)ning ehtimolligi ga teng. Ko’k shar chiqishi (V hodisa)ning ehtimolligi esa ga teng.
A va V hodisalar birgalikda bo’lmagan hodisalardir (biror rangdagi sharning chiqishi boshqa rangdagi sharning chiqishini istisno qiladi), shuning uchun qidirilayotgan ehtimollik
bo’ladi.
Qarama-qarshi hodisalar birgalikda muqarrar hodisani tashkil etgani uchun 1-teoremadan

ekanligi kelib chiqadi, shu sababli
. (3)
2-misol. Kun davomida yog’ingarchilik bo’lishining ehtimol-ligi ga teng. Kun ochiq bo’lishining ehtimolligi topil-sin.
Уеchish. «Kun davomida yog’ingarchilik bo’ladi» va «Kun ochiq» hodisalari qarama-qarshi hodisalardir, shuning uchun qidirilayotgan ehtimollik ga teng.
(2.1) formuladan quyidagi teoremani olamiz.