2. Ekstremum printsipi. Dirixle masalasi yechimining yagonaligi

3. Ikkinchi tartibli chiziqli elliptik tenglama
yechimining yagonaligi.
(1) tenglamaning koeffitsientlari va ozod hadi analitik funksiyalar bo’lgan holda bu tenglamaning kichik soxalar uchun yeechimga ega bo’lishi Koshi – Kovalevskaya teoremasidan kelib chiqadi. Ammo ular analitik funksiyalar bo’lmasa, (1) tenglama yechimining mavjudligini ko’rsatish uchun boshqa usullarni qo’llashgato’g’ri keladi. va funksiyalarni sinfga tegishli bo’lsin deb hisoblaymiz. Biz parametriks deb ataluvchi
,
Funksiyani tekshiramiz. Ma’lumki bir juft , nuqtalarga nisbatan da bu funksiya Laplas tenglamasining yechimidan iborat bo’ladi, shu bilan birga

Hajm potensiali zichlik sinfga tegishli bo’lganda,
(9)
Puasson tenglamasining yechimidan iborat bo’ladi.
Endi funksiyani shunday tanlab olishga harakat qilamizki,
(10)
Funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’lsin, bu yerda sinfga tegishli ixtiyoriy funksiyalardur. (10) ифодани (1) tenglamaga olib borib qo’yamiz. (9) tenglikka asosan ,

Bunga binoan, operator quydagi ko’rinishda yoziladi.

Agar biz qisqalik uchun ushbu

(11)
(12)
(13)
Integral tenglamani hosil qilamiz. Bu integral tenglamaning (11) yadrosi

bo’lganda ko’rinishdagi maxsuslikka ega, demak, uning kvadrati soxada integrallanuvchi bo’lmaydi. Shu tufayli (13) integral tenglamaga bevosita Fredgol’m nazariyasini qo’llash mumkin emas. Ammo, integratsiyalangan yadro
(14)
Bu soxada kvadrati bilan integrallanuvchi bo’ladi. Shuning uchun (13) integral tenglama o’rniga avval integralatsiyalangan,
(15)
Integral tenglamani tekshiramiz, bu yerda
(16)
va funksiyalarga qo’yilgan shartlarga asosan (16) tenglikdan funksiyani sinfga tegishli bo’lishi kelib chiqadi. Agar kichik soxa bo’lsa ya’ni,
(17)
Shart bajarilsa, (15) integral tenglamaga mos bo’lgan bir jinsli tenglama faqat trival, ya’ni nolga teng bo’lgan yechimga ega bo’ladi.
Demak, (15) tenglama hamma vaqt sinfga tegishli bo’lgan yagona yechimga ega bo’ladi. (13) tenglamaning xar bir yechimi (15) tenglamaning ham yechimi bo’ladi. Lekin (17) shart bajarilganda, biz ko’rdikki, (15 ) tenglama yagona yechimga ega. yordamida yangi
(18)
Funksiyani hosil qilamiz. Agar biz barcha soxada

ekanligini ko’rsatsak, shu bilan birga (13) tenglamaning yechimi bo’lishi isbotlangan bo’ladi. Shu maqsadda (15) tenglamani (1 4 ) ga asosan


yoki (18) ga binoan

ko’rinishida yozib olamiz
Bu ifodani ga ko’paytirib, so’ngra integrallab, quydagi tenglikni hosil qilamiz:



(16) va (18 ) tengliklarga asosan

Yoki

tenglamaga, ega bo’lamiz ya’ni (15) tenglamaning yechimidan iborat. shunday qilib, bu tenglama yagona yechimga ega bo’lganligi uchun

ekanligi kelib chiqadi. Ammo uchun (18) тенглик (13) integral tenglama bilan ustma – ust tushadi . (13) tenglamaning yechimini (10 ) formulaga qo’yib, sohada (1) tenglamaning
ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’lgan yechimlar oilasiga ega bo’lamiz. Shunday qilib, (17) shartni qanoatlantiruvchi sohada koeffisiyentlari sinfiga tegishli bo’lgan (1) tenglamaning hamma vaqt yechimga ega bo’lishi isbotlandi.
(1) tenglamaga mos bo’lgan
(19)
Bir jinsli tenglamani qaraymiz.
soxada (17) shart bajarilgan deb xisoblaymiz va bu sohaning ixtiyoriy nuqtasini orqali belgilab olamiz.. sohadan markazi nuqtada bo’lgan yetarli kichik radiusli

doirani chiqarib tashab, sohaning qolgan qismini bilan belgilaymiz. Avvalgi banddagi mulohazalarni qaytarib sohada (19) tenglamaning yechimini
(20)
Formula yordamida tuzamiz, bu yerda ushbu
(21)
Tenglamaning yechimidan iborat. (21) tenglamaning yadrosi (11) formula bilan aniqlanadi, o’ng tomoni esa

(21) tenglamaning yechimi ko’rinib turibdiki турибдики da

Tenglamaning yechimiga tekis intiladi.
(20) tenglikdan da limitga o’tib,

funksiyani hosil qilamiz.
Bu funksiya
a) bo’lganda sohada (19) tenglamaning regulyar yechimidan iborat;
b) nuqta atrofida
, ,
ifodalar o’rinli bo’ladi, bu yerda soxaning diametri
a), b) hossalarga ega bo’lgan yechimlar odatda fundamental yoki elementar yechimlar deb ataladi.
Agar (19) tenglamaning koeffitsientlari sinfga tegishli bo’lsa, bu tenglamaning elementar yechimlari hech bo’lmaganda, kichik sohalar uchun mavjud bo’ladi. garmonik funksiyalar nazariyasiga o’xshash, bu yerda ham, umumlashgan oddiy va ikkilangan qatlam potensiallari tushunchasini kiritib, ular yordamida (19) tenglama uchun Dirixle va Neyman masalalarini Fredgol’mning ikkinchi turdagi integral tenglamalariga keltirish mumkin.
Yuqorida bayon qilingan ekstremum printsipi va parametriks usuli bo’lgan holda, ya’ni

Ko’rinishidagi tenglamalar uchun xam o’z kuchini saqlab qoladi.
Elliptik tipdagi tenglamalarning eng soddasi va muhimi Laplas tenglamasi
, (22)
va Puasson
∆𝑢 = 𝑓(𝑥) (23)
tenglamalaridir. Laplas tenglamasini elliptik tipdagi tenglamalarning eng soddasi deyilishiga sabab, tenglamada faqat ikkinchi tartibli xususiy hosilalar (aralash hosilalar yo’q) qatnashadi, hosilalarning oldidagi koeffitsientlarning barchasi o’zgarmas va birga teng. Eng muhimi deyilishiga sabab esa, bu tenglama uchun yaratilgan nazariyalarni elliptik tipga tegishli boshqa bir qator tenglamalar (o’zgaruvchan koeffitsientli, ko’rinishi o’zgargan yoki boshqa hadlari ham mavjud bo’lgan va shu kabilar) uchun qo’yilgan chegaraviy yechishda ham qo’llash mumkin.
(22) tenglamani 𝑛 o`lchamli fazoda biror yopiqn sirt bilan chegaralangan yoki cheksiz sohada qaraylik.
Agar funksiya biz qarayotgan chekli sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, Laplas tenglamasini qanoatlantirsa, ni sohada garmonik funksiya deyiladi.
(22) tenglama uchun Dirixle va Neyman masalalarini qo’yilishini ko’rib chiqamiz.
Faraz qilamiz, − soha o’lchamli fazoda chekli soha bo’lib, uning chegarasi bo’lakli silliq sirtdan iborat bo’lsin. ni orqali belgilab olamiz ya’ni =
Dirixle masalasi ichki va tashqi chegaraviy masalalarga bo’linadi.
Dirixlening ichki chegaraviy masalasi ko’rib chiqamiz.
Dirixle masalasi (ichki).
sohada garmonik bo’lib, da uzluksiz va
(24)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funktsiya topilsin.
Dirixle masalasi (tashqi).
sohada garmonik shunday funksiya topilsinki, u da berilgan uzluksiz qiymatlarni qabul qilib, ya’ni
(25)
da bo`lgan holda dan sekin bo’lmay nolga intilsin,
da esa chekli limitga intilsin.
Neyman masalasi (ichki).
sohada garmonik, da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan hosilasi da berilgan qiymatlarga teng bo’lsin, ya’ni
, (26)
Bu yerda 𝑛 − 𝑆 ga o`tkazilgan normal.
Neyman masalasi (tashqi).
𝐷1 sohada garmonik shunday 𝑢(𝑥) funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan hosilasi 𝑆 da berilgan qiymatlarni qabul qilsin, ya’ni
(27)
hamda funksiyaning o’zi cheksiz uzoqlashgan nuqtada bo’lgan holda nolga, da esa chekli limitga intilsin.
Shu o’rinda (26) tenglama uchun Dirixle masalasini yechishda zarur bo’ladigan Grin funksiyasi haqida ma’lumotlarni keltiramiz.
(1) tenglama uchun chegarasi sirtdan iborat bo’lgan biror sohada Dirixle masalasining Grin funksiyasi deb ikkita nuqtalarning funksiyasi bo’lgan va quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi:
a) quyidagi ko’rinishga ega

Bu yerda 𝐸(𝑥, 𝜉) − laplas tenglamasining fundamental yechimi, эса bo’yicha ham, bo’yicha ham garmonik funksiyadir.
b) yoki nuqta sohaning chegarasiga yotganda
Bu ta’rifga asosan funksiya nuqtadan tashqari barcha sohalarda garmonik funksiyadir.
(22) tenglama uchun Dirixle masalasining (ichki) yechimi quyidagi formula orqali yoziladi:

Endi bevosida ikkinchi tartibli ikkita buzilish chizig’iga ega bo’lgan elliptik tenglama uchun qo’yiladigan ba’zi chegaraviy masalalarni keltiramiz [3-6].
, (28)
tenglamani qaraymiz.
Bu yerda .
− chegaraviy masala qaralayotgan soha va da va nuqtalarni tutashtiruvchi silliq egri chiziq, o’qidagi va o’qidagi kesma bilan chegaralangan.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
,

.
Ta’rif. sohasida (28) tenglamaning regulyar yechimi deb (28) tenglamani qanoatlantiruvchi

hamda va nuqtalardan tashqari da birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega funktsiyaga aytiladi, va 𝐴 nuqtalarda esa mos ravishda birdan kichik va tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, bu yerda yetarlicha kichik musbat son.
masalasi. sohada (28) tenglamani quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:
,
,
,
Bu yerda , , – berilgan uzluksiz funksiyalar va
, 𝜑(0, 1) = (1), (0) = (0).
Shu o’rinda aytish joizki, , 𝜑(0, 1) = (1), (0) = (0) sharti yechimni uzluksizligini ta’minlash uchun qo’yilgan.
masalasi. sohada (28) tenglamani quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:
,
,
,
bu yerda , , – berilgan uzluksiz funksiyalar, , funksiyalar va nuqtalarda birdan kichik tartibli cheksizlikka intilishi mumkin.
𝑁 masalasi. sohada (28) tenglamani quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:

,

bu yerda 𝜑(𝑥, 𝑦), 𝜏(𝑥), 𝜈(𝑦) – berilgan uzluksiz funksiyalar, 𝜈(𝑦) funksiya 𝑂(0, 0) va 𝐵(0, 1) nuqtalarda birdan kichik tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, bunda 𝜑(1, 0) = 𝜏(1).
𝑁 masalasi. Ω sohada (28) tenglamani quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:


,
bu yerda – berilgan uzluksiz funksiyalar, funksiya va uqtalarda birdan kichik tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, bunda .
masalasi. Ω sohada (28) tenglamani sinfdan bo’lgan quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:
,
,
,
,
bu yerda , , – berilgan uzluksiz funksiyalar,


Izoh. Masalalardagi 𝐷, 𝑁𝐷, 𝑁 , 𝑁 ,𝐾𝐷 nomlari [3-6] ilmiy ishlardagi belgilashlardan olingan: 𝐷 − Dirixle, 𝑁𝐷, 𝑁 , 𝑁 − Neyman-Dirixle, 𝐾𝐷 − konormal-Dirixle ekanligini bildiradi.
O’zgarmas va o’zgaruvchi koeffisientli (sohaning bir qismida nolga aylanadigan koeffisientga ega) elliptik tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishdagi o’xshashlik va farqlarni izohlash uchun 𝐾𝐷 masalasini yechimini yozamiz:


Bunda

,
bu yerda – quyidagi integral tenglamani yechimi


− funksiyasi soha bilan chegaralangan sohasidagi Dirixle masalasi uchun Grin funksiyasi bo’lib, quyidagi ko’rinishga ega:


(𝜉, 𝜂; 𝑥, 𝑦) – esa (28) tenglamaning fundamental yechimi.
Xulosa
Kurs ishining kirish qismida Oliy ta’lim — ilm-fan — ishlab chiqarish o’rtasida uzilishlar mavjud, integratsiya ta’minlanmagan. Ilmiy-tadqiqot institutlari oliy ta’limda kadrlar tayyorlash jarayoniga zarur darajada jalb etilmagan, ularda ilmiy izlanishlar iqtisodiyot sohalarining real ehtiyojlaridan kelib chiqmasdan amalga oshirilmoqda. Oliy malakali ilmiy va ilmiy-pedagog kadrlarning tizimli tayyorlanmasligi oliy ta’lim muassasalarining ilmiy salohiyatining pasayishiga olib kelishi, shu kabi dolzarb sabablari haqida so’z yuritildi.
Yuqorida keltirilganlardan kelib, chiqib o’zgarmas koeffitsientli elliptik tenglama va ikkita buzilish chizig’iga ega bo’lgan elliptik tipdagi tenglama uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechish yo’llari tahlil qilinganda bir qator o’xshashliklar va farqli jihatlar namoyon bo’ladi.
O’xshash jihatlar tahlil qilinganda, chegaraviy masalalarni yechish yo’llari deyarli bir xil ekanligi, xususan ikkala (elliptik tenglama o’zgarmas va o’zgaruvchi koeffitsientli bo’lgan) holda ham masalalar Grin funksiya orqali yechilganligi ko’rinadi.
Farqli jihatlari tahlil qilinganda quyidagilar namoyon bo’ladi: (28) tenglama uchun Grin funksiyasi tuzish juda murakkab bo’lib, (22) tenglama uchun Grin funksiyasni tuzishdan ko’ra izlanuvchidan juda ko’p bilim talab qiladi. Jumladan izlanuvchi qo’shimcha ravishda qatorlar nazariyasi, Grin formulalari, birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar, xosmas integrallar, Eylerning va funktsiyalari va xossalari, Gaussning − gipergeometrik funksiyasi va xossalari, Gorn tenglamasi va uning yechimlari to’g’risida chuqur bilimga ega bo’lishi zarur bo’ladi
(28) tenglama o’rganilayotgan sohani chegarasi bo’lakli silliq bo’lganligi uchun shu nuqtalarda yechimning birinchi tartibli hosilasi ham uzilishga ega bo’ladi. Bu hollarni tahlil qilish va ko’ra bilish uchun izlanuvchi diqqatli bo’lishi va matematik analiz fanidan yetarlicha bilimga ega bo’lishi lozim. Matematikaning differensial tenglalamalar sohasining amaliy tadbiqlari juda keng bo’lib, kvant mexanikasida differensial operatorlar yordamida aniqlanadigan standart (uzluksiz) Shryodinger operatorlari bilan bog’liq masalalar uchrab turadi. Masalan, panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos turli model’ operatorlarning spektral xossalari tadqiq qilingan.
Ikkita buzilishga chizig’iga ega bo’lgan elliptik, giperbolik va aralash tipdagi tenglamalar bo’yicha bir qator ijobiy natijalar olingan va chegaraviy masalalarning klassik va umumlashgan yechimlari topilgan. Differensial tenglamalarning amaliy tadbiqlari bo’yicha ilmiy izlanishlar olib borilgan. Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun qo’yiladigan chegaraviy masalalarni yechish davomida qo’llaniladigan funksiyalarni chuqurroq o’rganish bo’yicha tavsiyalar berilgan.