2. Ekstremum printsipi. Dirixle masalasi yechimining yagonaligi

Misol. doirada Dirixle ichki masalasini yeching.
, ,
,
Yechish. doirada garmonik funksiya

ko’rinishda ifodalanadi, bu yerda , - xaqiqiy o’zgarmas sonlar.

Polyar koordinatalar sistemasida

bo’ladi.
(1), (2) ifodalarni chegaraviy shartga qo’ysak,

hosil bo’ladi.
Bu yerdan noma’lum , - koeffisentlarning qiymatlarini topamiz:
, , , ,
Shunday qilib, (1) va (3) ga ko’ra Dirixle masalasining yechimi

ko’rinishda ifodalanadi.
Xuddi shunday, nuqtada yechimning manfiy minimumiga erishmasligi ko’rsatiladi. Endi bo’lgan holni ko’ramiz. Bu holda funksiya o’rniga

almashtirish yordamida yangi funksiya kiritamiz. Bunda , – keyinchalik mos ravishda tanlab olinadigan musbat sonlardir. (7) tenglamaga o’rniga (8) ifodani olib borib qo’yganimizdan so’ng, ga nisbatan (7) ga o’xshash

tenglama hosil bo’ladi, bu yerda
, ,

ni yetarlicha katta qilibtanlab olamizki, soxada tengsizlik o’rinli bo’lsin va uchun funksiyaning dagi yuqori chegarasidan katta bo’lgan qiymatini olsak, tengsizlik bajariladi. U holda bo’lgani sababli, tengsizlik bajariladi. Su bilan ekstremum printsipi isbot bo’ldi. Bu printsipidan (1), (3) Dirixle masalasi yechimining yagonaligi darxol kelib chiqadi.
Haqiqatdan ham, bu masalaning ikkita va yechimi bor bo’lsin. U xolda ayirma (7) ning yechimi bo’lib, soxaning chegarasi da nolga tengbo’ladi. Agar funksiya ning ichida nolga teng bo’lmasa, u ning ichida musbat yoki manfiy qiymatlarni qabul qiladi. Demak, funksiya da uzluksiz bo’lganligi uchun biror nuqtada musbat maksimum yoki manfiy minumimga erishadi. Bu esa bo’lganda ekstirumum printsipga qarama-qarshidir. Bu shart bajarilganda nuqtada , ya’ni . Shunday qilib, (1), (3) masalaning birdan bir yechimga ega bo’lishi
uchun (1) tenglama koeffisiyintining ishorasi muhim ahamyatga ega.
Misol. doira tashqarisida Dirixle tashqi masalasini
, ,

Yechish. doira tashqarisida chegaralangan garmonik
funksiya quyidagicha ifodalanadi.

U holda chegaraviy shartga asosan

tenglikni olamiz. Bundan ko’rinadiki
, , ,
Demak,

funksiya berilgan Dirixle masalasining yechimi bo’ladi.