2. Ekstremum printsipi. Dirixle masalasi yechimining yagonaligi

1. Chegaraviy masalalarning qo’yilishi.
Soddalik uchun tenglama chegarasi egari chiziqdan iborat sohada kanonik ko’rinishga keltirilgan deb hisoblaymiz. Agar erkli o’zgaruvchilarni va orqali belgilasak, tenglama ushbu
(1)
Ko’rinishida yoziladi. Bu yerda
, , , va da berilgan haqiqiy funksiyalar bo’lsin. (1) tenglama uchun qo’yiladigan bir qator chegaraviy masalalarni Puankarening ushbu chiziqli masalasi o’z ichigaa oladi. sohada (1) tenglamaning
, (2)
Chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi regulyar yechim topilsin , bu yerda , , va deganda, bu funksiyalarining ichida turib dagi limit qiymatlari tushuniladi.
, bo’lgan holda (2) chegaraviy shart
, (3)
ko’rinishida yoziladi. Bunda
(1), (3) masala birinchi chegaraviy masala yoki Dirixle masalasi diyiladi. Puankare masalasining bo’lgan holi ya’ni
, (4)
qiya hosilali masala diyiladi.
(4) shartda, barcha egri chiziqda , , bu yerda , ga o’tkazilgan normal bo’lsa, qiya hosilali masala ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi diyiladi.
2. Ekstremum printsipi. Dirixle masalasi yechimining yagonaligi.
Ekstremum prinsipi. Dirixle masalasi yechimining yagonaligi. Bizga ma’lumki, Dirixle masalasi ∆u = 0 Laplas tenglamasi uchun, ya’ni garmonik funksiyalar uchun bittadan ortiq yechimga ega bo’lmaydi. (1) tenglama uchun ham shunday yagonalik teoremasi o’rinli bo’ladimi yoki yo’qmi degan tabiiy savol tug’iladi. Bu savol har doim ham ijobiy javobga ega bo’lavermaydi.
Shu maqsadda ushbu
(5)
tenglamani tekshiramiz, bunda k² – o’zgarmas son.
(5) tenglamaning yechimini o’zgaruvchilarni ajratish usuli bilan, ya’ni

ko’rinishda qidiramiz. Bunga asosan (5) tenglamadan
=
Tengliklarni hosil qilamiz. Bu yerda o’zgarmas biror musbat a² sondan iborat bo’lib, a²² bo’lsin deb, hisoblaymiz. Avvalgi tengliklardan
X'' + a²X = 0, Y'' + (k² - a²)Y = 0
tenglamalarni hosil qilamiz. Bu tenglamalarni integrallab, quyidagilarga ega bo’lamiz:

.
Bundan darhol (5) tenglama noldan farqli bo’lgan boshqa yechimlari orasida
(6)
yechimga ham ega bo’ladi. Bu yechim

to’rtburchakning barcha chegarasida nolga teng.
Demak, (5) tenglamaning (6) yechimi yuqoridagi to’rtburchakning chegarasida nolga teng bo’lsa ham, to’rtburchakning ichida noldan farqlidir.
Ekstremum prinsipi. Agar barcha D sohada tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda D sohada
(7)
tenglamaning u(x,y) regulyar yechimi xech bir (x,y) D nuqtada o’zining musbat maksimumiga va manfiy minimumiga erishmaydi.
Avvalo bo’lsin. yechim nuqtada musbat maksimumga erishsin deb faraz qilamiz. U holda, bu nuqtada

Bundan

Demak, tekshirilayotgan nuqtada . Bu esa (7) tenglamaga qarama-qarshidir.