2-§. Qadimgi Misr va Vavilon olimlarining matematik va astronomik bilimlari

21
5-§.Son tushunchasining kengaytirilishi

Sonlarning fanlar taraqqiyoti, texnika rivojlanishi, umuman inson hayotidagi o‘rni beqiyosdir. Shuning uchun ham sonlarning qurilishi, ularning xossalarini nazariy asoslangan holda o‘rganish juda zarur hisoblanadi. Sonli sistemalar umumiy o‘rta ta’lim matematikasining asosini tashkil etadi, deb aytish mumkin. Chunki, intuitiv tarzda hosil bo‘lgan natural sonlar ustidagi ba’zi amallar, ularni taqqoslash boshlang‘ich sinfda o‘rganiladi, keyinchalik natural sonlar sistemasi manfiy sonlar bilan kengaytiriladi. VII sinfgacha natural, butun va ratsional sonlar, ular o‘rtasidagi amallar, bu amallarning xossalari o‘rganiladi. VIII sinfga borib, irratsional son tushunchasini kiritish uchun asos bo‘ladigan sonning taqribiy qiymati va kvadrat ildiz tushunchalari o‘rganiladi.

Matematikaning oddiy tatbiqlari sodda a+x=b va ax=b (a 0) ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalarni yechish orqali namoyon bo‘ladi. Xuddi shu kabi tenglamalarni yechish zaruriyatida dastlab manfiy sonlar,so‘ngra kasr sonlar matematikaga kirib kelgan, deb aytish mumkin. Lekin matematikada turli tenglamalar mavjud. Yuqoridagi fikrlarning davomi sifatida va kabi tenglamalar yechimlarini aniqlash maqsadida irratsional va kompleks sonlar sistemalari yordamida sonli sistemalar kengaytiriladi.

Ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlar sistemasi deb nomlanadi va bu sistema umumiy o‘rta ta’limda, kompleks sonlar sistemasi esa kasb-hunar kollejlari va akademik litseylarda o‘rganiladi.

22

Oddiy matematik tenglamalarni yechish zaruriyati tufayli qurilgan sonli kengaytmalarni yana kengaytirish mumkinmi, degan savolga oliy ta’limning ba’zi yo‘nalishlarida to‘liq javob beriladi. Keyinchalik biz haqiqiy va kompleks sonlar sistemalarini o‘qitilishi bilan bog‘liq ba’zi takliflar bilan birga kompleks sonlar sistemasi kengaytmalari qurilishi bilan bog‘liq fikrlarni keltiramiz. Soddalik uchun, ba’zi sonli to‘plamlar uchun quyidagi maxsus belgilardan foydalanishni eslatib o‘tmoqchimiz:

N - barcha natural sonlar to‘plami;

Z - barcha butun sonlar to‘plami;

Q - barcha ratsional sonlar to‘plami;

I - barcha irratsional sonlar to‘plami;

R - barcha haqiqiy sonlar to‘plami;

C - barcha kompleks sonlar to‘plami;

Q( ) -

Q( ) -

Q( ) –

Sonli to‘plamlarning kengaytmalari sodda matematik tenglamalarni yechish bilan bog‘liq bo‘lganligi sababli bu sodda tenglamalar yechimlari mavjudligini aniqlashda (aniq bir sonli to‘plamda) halqa va maydon tushunchalarini kiritishga to‘g‘ri keladi. Lekin bu tushunchalar oliy ta’limning ba’zi yo‘nalishlaridagina o‘rganiladi.

Halqa va maydon tushunchalari ikkita – yig‘indi (+) va ko‘paytma(.) amallari orqali ta’riflanadi. Juda ko‘p sonli to‘plamlar (masalan, N,Z, Q,R, C, Q( ) , Q( ) , Q( ) ) larda yig‘indi (+) va ko‘paytma(.) amallari aniqlangan bo‘lib, ulardan ba’zilari ( masalan, N dan tashqari barchasi ) halqa , ba’zilari

23
(masalan, Q,R, C, Q( ) , Q( ) , Q( )) maydon tashkil etadi. Undan tashqari bu to‘plamlardagi elementlarni taqqoslash ham mumkin, ya’ni bu to‘plamlarda tartib munosabati aniqlangan bo‘lishi mumkin.

Agar biror sonli to‘plamdagi tartib munosabati (≤) undagi qo‘shish amali (+) uchun bu to‘plamning har qanday uchta a,b,c elementlari uchun a ≤ b munosabatdan a +s ≤ b + s munosabat kelib chiqsa, u holda qo‘shish amali ≤- tartib munosabati bilan moslashadi, deyiladi. Xudi shuningdek, sonli to‘plamning har qanday a,b va c>0 elementlari uchun a ≤ b shartdan a s ≤ b s tengsizlik kelib chiqsa, u holda tartib munosabati ko‘paytirish amali bilan ham moslashadi, deyiladi.

Agar halqa (yoki maydon)dagi tartib munosabati halqa (yoki maydon)dagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari bilan moslashsa, u holda bu halqa (yoki maydon)ni tartiblangan deyiladi. Agar halqa (yoki maydon) tartiblangan bo‘lib, uning ixtiyoriy ikkita a va b elementlari uchun a ≤ b yoki a ≥ b tengsizliklardan aqalli bittasi bajarilsa, u holda bu halqani chiziqli tartiblangan halqa (yoki maydon) deyiladi.

Maktab matematika kursida Z, Q,R to‘plamlarning chiziqli tartiblangan halqa bo‘lishi isbotlanadi. Lekin, kasb-hunar kollejlari va akademik litseylarda kompleks sonlar to‘plamining o‘rganilishi jarayonida undagi tartib munosabati haqida amaldagi darsliklarda hech qanday fikr bildirilmagan.Bizning fikrimizcha, kompleks sonlar o‘rtasida har xil tartib munosabatini o‘rnitish mumkin bo‘lsa-da, unda ko‘paytirish amali bilan moslashadigan tartib munosabatini aniqlash mumkin emasligini eslatib o‘tish zarur. 24

Bundan tashqari, oliy ta’lim tizimida o‘rganiladigan izomorfizm tushunchasidan foydalanib, Q( ) maydondagi chiziqli tartib munosabati orqali Q( ) maydonda ham chiziqli tartib munosabatini o‘rnatish mumkinligini misol sifatida keltirish mumkin (bu yerda yoki bo‘lishini eslatib o‘tish zarur).

Sonli sistemalar ichida R-haqiqiy sonlar to‘plami juda mukammaldek ko‘rinadi, lekin,bu to‘plamda har qanday musbat darajali haqiqiy koeffitsientli ko‘phad aqalli bitta ildizga ega bo‘ladi, deb aytish mumkin emas. Lekin, haqiqiy sonlar maydonining kengaytmasi hisoblangan kompleks sonlar maydonida har qanday musbat darajali haqiqiy koeffitsientli ko‘phad aqalli bitta ildizga ega bo‘ladi. Shu bilan birga kompleks sonlar sistemasini qurish uchun haqiqiy sonlar maydonidagi asosiy xossalardan biri - chiziqli tartiblangan maydon bo‘lish xossasini bajarilmasligini ta’kidlaymiz, ya’ni haqiqiy sonlar maydonining chiziqli tartiblangan (o‘zidan boshqa) kengaytmasi mavjud emas.

Kompleks sonlar maydonining qurilishi bilan uning ham kengaytmasi bormi, degan nazariy savol kelib chiqishi tabiiy, albatta. Bu savolga javob berish uchun kompleks sonlar maydoni haqiqiy sonlar maydoni ustida o‘lchovi 2 ga teng bo‘lgan algebra ekanligidan foydalaniladi. (A to‘plam biror R maydon ustida algebra tashkil etishi uchun A to‘plam halqa bo‘lishi va R maydon ustida chiziqli fazo bo‘lishi hamda har qanday a, b A va R lar uchun ( a b)=( a) b= a ( b) shart bajarilishi kerak)

Agar algebraning ixtiyoriy a, b (a 0) elementlari uchun ax=b, ya=b ko‘rinishdagi tenglamalar yechimga ega bo‘lsa,

25
bunday algebrani bo‘linishga ega bo‘lgan algebra deyiladi. Haqiqiy sonlar maydoni o‘zi ustida o‘lchovi 1 ga teng bo‘lgan algebra bo‘lsa, kompleks sonlar maydoni haqiqiy sonlar maydoni ustida o‘lchovi 2 ga teng bo‘lgan bo‘linishga ega bo‘lgan algebra tashkil etadi. Kompleks sonlar maydoni ustida bo‘linishga ega bo‘lgan o‘lchovi chekli algebra faqat kompleks sonlar maydoni bo‘lishi mumkinligi isbotlangan. Demak, haqiqiy sonlar maydonining kengaytmalarini faqatgina uning o‘lchovini oshirish orqaligina qurish mumkin, degan ulova kelib chiqadi. Lekin, haqiqiy sonlar maydoni ustida bo‘linishga ega, o‘lchovi 3 ga teng bo‘lgan algebra mavjud emasligi, o‘lchovi 4 ga teng bo‘lgan faqat kvaternionlar algebrasi bo‘lishi isbotlangan. Lekin, kvaternionlar algebrasi kommutativ bo‘lmagan algebra bo‘ladi. O‘lchovi 5 yoki undan yuqori bo‘lgan bo‘linishga ega algebralar mavjud emasligi ham aniqlangan. Bu fikrlar barchasi Frobenius teoremasidan kelib chiqadi.

Shuni ta’kidlash kerakki, haqiqiy sonlar maydonining kengaytmalarini qurishda uning aniq bir xossasidan voz kechishga to‘g‘ri keladi. Chunki kompleks sonlar sistemasini qurishda undagi tartib munosabatidan voz kechishga to‘g‘ri keladi. Kommutativlikdan voz kechish orqali kvaternionlar algebrasini, va yana bir xossa hisoblangan assotsiativliklan voz kechish orqali haqiqiy sonlar maydoni ustida o‘lchovi 8 ga teng bo‘lgan Keli algebrasi quriladi. Kvaternionlar algebrasini