2-§. Qadimgi Misr va Vavilon olimlarining matematik va astronomik bilimlari

4-§.O‘nli kasrlarning paydo bo’lishi

Sharq matematiklari o’nli sanoq sistemasida ishlash bilan birga, o’nli kasrlar bilan ham bemalol ishlashgan. Bu haqidagi dastlabki ma’lumotlar XV asrning birinchi yarmida yashab ijod etgan Koshiga tegishli. U o’nli kasrlar ustida bemalol amallar bajargan vergulni ham uylab topgan .

Masalan: 25,07 ni 14,3 kupaytirib 358, 501 ko’rinishda yozishni ko’rsatgan. P ning 16 anik o’nli xonalarini aylanaga ichki

va tashki chizilgan muntazam 3*2²⁸ ko’pyoqli yordamida hisoblagan. Bundan 150 yil keyin F.Viet 3*2¹⁷ burchak yordamida 9 ta anik xonasini topgan, 1597 yili esa van Roulin al Koshi natijasini takrorladi va keyinroq o’tib ketdi.

Umuman esa Yevropada (G‘arbiy Yevropa, sharqida hech narsa yo’q) 1585 yili flamandiyalik matematik va injener S.Svetin tomonidan kiritildi.

Bundan ilgariroq ham o’nli kasrlar hqkida ma’lumotlar mavjud. Masalan: Xitoyda Sun dinastiyasi davrida yashab ijod etgan Yan Xuey (1261 y) . Uning misollaridan biri

24,68 X 36,56 = 902,3008

Qadimgi Misr matematiklar haqidagi ma’lumotlar asosan hozirda Londonda saqlanayotgan Raynda tomonidan topilgan matematika pipirius (U 1858 yili uzunligi 5,5 m eni 32 sm. 84 amaliy masala jamlangan).

Ikkinchi kattarog‘i Moskvada saqlanmokda.U Axlis papirusi bo’lib, uzunligi 5,5 m eni 8 sm, 25 ta amaliy masala kiritilgan). 1882 yili akademiklar Turaev va Struve tomonidan o’qilgan.

Birinchisining yoshi e.o 1650 yil bulsa ikkinchisiniki e.o.

16
1850 yildir.

Har ikkala papirusdagi masalalar deyarli umumiy bo’lib, birinchisida 14-masalada asosi kvadrat bo’lgan kesik piramidaning hajmini to’g‘ri hisoblagan. Ikkinchisida 10- masalada egri chiziqli sirt yuzi - balandligi asosining diametriga teng bo’lgan savat (korzina) ning yon sirti to’g‘ri topilgan.

Bu ikki papirusni o’rganish natijasida misrlik olimlarga quyidagilar ma’lum ekanligi aniqlandi.

1) O’nli ieroglifli sanok sistemasi. Bog‘lovchi sonlar 10^k ( k = 0,1,2,...7) ko’rinishida bo’lib, alohida belgilar qo’yilgan. Algoritmik sonlar esa bularning kombinatsiyasi natijasida hosil qilingan.

2) Kasr sonlar faqat 1/n ko’rinishida bo’lib, boshqalardan ayrimlari (ms; 2/3, 3/4) ishlatilgan. Boshqa har qanday ko’rinishdagi kasrlar shularning yig‘indisi ko’rinishida tasvirlangan. Bajarilayotgan amallarni yengillatish uchun maxsus jadvallar tuzilgan. Hamma amallar iloji boricha qo’shish holiga olib kelingan.

Mis : 1.Ikkilatish usuli ( ko’paytirish)

12*12=144 4^*+8^* 48+96=144

II. Ikkilatish va yarimlash ( ) lash (bo’lish).

1) (19:8)	1	8	2) 4:15)	1	15
	2	16^* 17		1/10
		4		1/5	3^*
		2^*		1/15	1^*
	1/8^*	1^*
(16^*+2^*+1^*):8= 19:8= 2			(3^*+1^*):15=4:15=

3) “hau” amali, ya’ni ax + vx + … + sx = ko’rinishdagi chiziqli tenglamalarni yechish.

4) Turli maxrajli kasrlarni qo’shishda yordamchi songa ko’paytirish usulini qo’llaganlar. Bu hali umumiy maxrajga keltirish emas, lekin xususiy holidir.

Yukoridagilardan shu narsa ma’lum buladiki bundan 4000 yil ilgari kadimgi Misrda matematika fan sifatida shakllana boshlagan.

Qadimgi Vavilon (Tigr va Yevfrat daryolari oraliqlari hozirgi Iroq) matematiklari haqidagi ma’lumotlar Misrdagi matematika bilan bir vaqtda shakllana boshladi. Qadimgi Vavilionliklar mustaqil ravishda ponasimon shakllar yordamida loy plitalarga yozishni (quyoshda quritilgandan so’ng mustahkam bo’ladi) yo’lga qo’ydilar. Ko’pdan - ko’p topilgan bunday plitkachalar qadim zamonda (hatto greklardan 1500 yil oldin) matematikadan amaliy maqsadlarda unumli foydalanganlar. Ular haqli ravishda astronomiyaning asoschisi hisoblanadilar (greklar ularning astronomiyasiga asoslanganlar).

Jumladan haftaning 7 kunga bo’linishi, doirani 360⁰ ga bo’lish, 1 soatni – 60 minutga, minutni – 60 sekundga, sekundni –

18
60 tersiyga bo’lish ulardan meros qolgan.

Yana ular yulduzlarga qarab kelajakni bashorat qilish fani – astrologiyaning ham asoschilaridir.

Bizgacha yetib kelgan yuz mingga yaqin loy plitkalardan – taxminan 50 tachasi matematik mazmunga ega bo’lib, 200 tachasi matematik jadvallardan iboratdir.

Sanoq sistemasi 60 lik bo’lib, chapdan o’ngga yozilgan.Butun sonlar va kasr sonlar uchun yagona arifmetik qoidalar yaratganlar. Hisoblashni yengillatish uchun 1*1 dan 60*60 gacha an jadvali tuzganlar. Bo’lish ko’paytirishga teskari amal sifatida qaralgan, ya’ni a:b = ko’rinishda.

Yana butun sonlarning kvadratlari va kublari, kvadrat ildizlar va n²+n³ ko’rinishdagi sonlar uchun jadvallardan foydalanganlar. Nol bo’lmagan (o’rni bo’sh qoldirilgan).

Bulardan tashqari plitkalarda protsentlar va proporsiyalar bo’lishlar haqida ham ma’lumotlar bor.

B.L.Vander Varden o’zining “Probujdoloщayasya nauka” (Uyg‘onayotgan fan) kitobida Vavilon tablichkalaridagi barcha ma’lumotlarni analiz qilib quyidagi xulosalarga keladi;

1) Bir noma’lumli tenglamalar: ax=v, x²=a, , x³=a, x²(x+1)=a;
2) Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi:

;
19
3) Arifmetik progressiyalarning yig‘indisini hisoblash;


4)

5) Doiraning yuzi S = (s-aylana uzunligi) formula bilan hisoblangan. Bu yerdan P = 3 topilgan;

6) Tekis figuralarning yuzalarini hisoblash;

7) Burchaklarni va tr. Munosabatlarni hisoblash.

1945 yil Neygebauer va Saks (AKSh, Kolumbiya universiteti) o’qigan plitkada tomonlari ratsional sonlar bo’lgan to’g‘ri burchakli uchburchaklarning ro’yxati, ya’ni ; Pifagor sonlari x²+y²=z². Ularning tanlash metodlari x=r²-g², u=2rg, z=p²+g² ko’rinishdagi formulalarga olib keladi. Bular esa Diafant tenglamalardir.

Xulosa qilib shuni aytish mumkinki Vavilionliklar matematikasi aniq masalalardan ajralgan holda umumiy metodlar bilan ifodalangan algebra ko’rinishga yaqin keltirilgan (Neygebauer, Fogel).

Ba’zi masalalardan namunalar.

1) yechilsin.

Bu (12x) ^3­­­­+(12x) ²= 252 yoki 12x=6 (jadvalga asosan)

20

Demak, x³+x²=a kurinishdagi tenglama yechilgan.

2) 20 % foyda keltiruvchi pul, qancha vaqtda ikki baravar ko’payadi ?

Buni yechish uchun ko’rinishiga keltiriladi. Dastlab, 3
Misr va Vavilionliklar matematikasi eramizdan avvalgi V asrga kelib , mantikiy fikrlash va isbotlashlarni asoslash uchun yetarli darajada abstraktlashgan, asosiy tushuncha va jumlalari insonning fikrlash obektiga aylangan mustaqil fan sifatida shakllanganligining guvohi bo’ldik. Bundan keyingi matematikaning rivojlanishi VI – V asrlarda antik davrga, yani Gretsiya – Rim davriga to’g‘ri keladi.