2 – Ma`ruza Mavzu: Algebraning sonli usullari

3 Progonka usulining dasturi:
program progonka;
var a,b,c,d,x,u,v:array[0..50] of real;
i,n:integer; s:real;
begin
write('n=?');readln(n);
for i:=0 to n do
begin if i=0 then begin write('b,c,d[',i,']=?');
readln(b[i],c[i],d[i]) end;
if i=n then
begin write('a,b,d[',i,']=?');readln(a[i],b[i], d[i]) end;
if (i<>0)and(i<>n) then
begin write('a,b,c,d[',i,']=?');readln(a[i],b[i],c[i],d[i]) end;
end;
u[0]:=0;v[0]:=0;
for i:=0 to n-1 do
begin
s:=a[i]*u[i]+b[i];
u[i+1]:=-c[i]/s;
v[i+1]:=(d[i]-a[i]*v[i])/s;
end;
x[n]:=(d[n]-a[n]*v[n])/(a[n]*u[n]+b[n]);
for i:=n-1 downto 0 do x[i]:=u[i+1]*x[i+1]+v[i+1];
for i:=0 to n do
write('x[',i,']=',x[i],' ');
end.
Programma asosida eksperiment o‘tkizamiz: bo‘lsin va tenglama koeffitsientlarini programmaga kiritamiz.
n=?3
b,c,d[0]=?2 1 3
a,b,c,d[1]=?1 2 1 4
a,b,c,d[2]=?2 3 2 7
a,b,d[3]=?1 2 3
x[0]=1 x[1]=1 x[2]=1 x[3]=1
Natijaning to‘g‘riligi ko‘rinib turibdi.
Nazariy savollar va topshiriqlar.

1. 
   CHiziqli algebra masalalari deb qanday masalalarga aytiladi?
   
2. 
   CHiziqli sistemaning qachon echimi mavjud va yagona.
   
3. 
   Progonka usuli necha etapdan iborat?
   
4. 
   Progonka usulining turg‘unlik shartini toping.
   
5. 
   uch dioganalli sistema progonka usuli bilan echilsin
   

Mundarijaga
1.5. CHATSNI ECHISHNING ANIQ USULLARI.
GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULI.


Asosiy tushunchalar: Gauss usuli va Jordan - Gauss usullari, usulning dasturi
Asosiy natijalar:
1. Gauss usuli: ,L-quyi va U-yuqori uchburchak matritsalar.
2. Jordan - Gauss usuli:
.
3. Determinant va teskari matritsani hisoblash:

4. Paskalь tilida dasturlar.


1.Gauss usuli
(4.1) sistemani Gauss usuli bilan echish g‘oyasi quyidagicha:
1-qadam. bo‘lsin. Aks holda qolgan tenglamalardan oldida nolga teng bo‘lmagan tenglama (yoki modulь bo‘yicha oldida eng katta koeffitsientli tenglama) birinchi tenglama qilib olinadi. Birinchi tenglamadan ni topib olamiz:

Bu tenglamani barcha qolgan tenglamalarga qo‘yamiz:
(1)
2-qadam. (1) sistemaning ikkinchisidan agar, , bo‘lsa, (aks holda tenglamalarni o‘rnini o‘zgartiramiz), ni topib uchinchi tenglamadan boshlab ni yo‘qotamiz va xokazo. - qadamda quyidagi sistemaga kelamiz:

Bu erdan topamiz:
(3)
(4)
Formulalar (3) bilan Gauss usulida ishlash (4.2) sistemani (3) uchburchak sictemaga keltiradi (to‘g‘ri yurish), (4) formulalar bilan noma’lumlar topiladi (teskari yurish). Gauss usulini quyidagicha tahlil qilish mumkin: , bu erda L ,U-quyi va yuqori uchburchak matritsalar, ulardan birining diognal elementlari, masalan, U-ning diognal elementlari 1 ga teng. Gauss usulida A=LU yoyilma topilgach, avval sistema, so‘ng sistema oson echiladi.
Gauss usulida biror bosh element nolga teng bo‘lsa sistemaning determinanti nolga teng va bu holda sistema yo echimga ega emas, yo cheksiz ko‘p echimga ega.
Misol 1. Ushbu sistema echilsin:Ax=v,
.
Sistemani kengaytirilgan matritsa tuzib sxematik ravishda echamiz:

Bu erdan, z=2,y=4z-5=3,x=-y+z=-1. Javob:{-1,3,2}.