17. Уровень Ферми в металлах и функция распределения Ферми-Дирака Уровень Ферми

Функция распределения Ферми - Дирака. Характер распределения частиц по разным уровням или состояниям в тех или иных условиях определяется так называемой функцией распределения. В общем случае функция распределения описывает вероятность занятости того или иного уровня частицами. Если достоверно известно, что данный уровень заселен частицей, то говорят, что вероятность обнаружения частицы на этом уровне равна 1. Если же с полной достоверностью можно сказать, что на рассматриваемом уровне нет частиц, то говорят, что вероятность обнаружения частиц в рассматриваемом состоянии равна 0. Однако во многих случаях нельзя достоверно утверждать, что уровень заполнен или пуст. Тогда вероятность нахождения частицы на рассматриваемом уровне отлична от нуля, но меньше единицы. При этом чем больше вероятность обнаружить частицу на рассматриваемом уровне, тем ближе к единице оказывается значение функции распределения для соответствующего состояния.
Если по оси абсцисс откладывать значения энергии, соответствующей разным уровням, от дна потенциальной ямы до ее потолка, а по оси ординат - вероятность заполнения электронами соответствующих уровней, то мы получим график функции распределения Ферми - Дирака  При Т = 0 он имеет вид, приведенный на рисунке 48. Часто этот график называют ступенькой Ферми. Из него видно, что при Т = 0 все уровни, вплоть до уровня Ферми, оказываются занятыми электронами. В точке W = μ функция распределения скачкообразно падает до нуля; это значит, что все уровни, расположенные выше уровня Ферми, пусты.

Рис. 48
Влияние температуры. При температурах, отличных от нуля, вид графика зависимости  отличается от приведенного на рисунке 48. Повышение температуры приводит к появлению теплового возбуждения электронов, которое они получают от тепловых колебаний кристаллической решетки. Благодаря этому возбуждению часть электронов, расположенных на наиболее высоких заполненных уровнях, переходит на пустые уровни, лежащие выше уровня Ферми (рис. 49). Вероятность обнаружения электронов на этих уровня становится уже отличной от нуля. Одновременно с этим из-за ухода части электронов с некоторых уровней, расположенных непосредственно под уровнем Ферми, вероятность заполнения их окажется меньше единицы. Таким образом, повышение температуры приводит к некоторому "размытию" границы ступеньки Ферми: вместо скачкообразного изменения от 1 к 0 функция распределения совершает плавный переход. На рисунке 50 пунктиром показан вид графика функции распределения электронов по уровням при Т = 0, а сплошными линиями отражены распределения электронов при температурах, отличных от нуля. Площадь криволинейного треугольника, расположенного под кривой распределения правее значения W_F (площадка 2), пропорциональна числу электронов, перешедших на возбужденные уровни, а площадь такого же треугольника, расположенного слева от значения W_F над кривой распределения (площадка 1), пропорциональна числу электронов, ушедших с уровней, которые ранее были заполненными, то есть числу освободившихся под уровнем Ферми мест. Понятно, что площади этих двух треугольников одинаковы, так как с разных позиций они выражают одно и то же число электронов.

Рис. 49

Рис. 50
Следует отметить, что в диапазоне рабочих температур степень размытия кривой распределения электронов в металле очень невелика. Объясняется это тем, что тепловому возбуждению подвергаются только те электроны, которые расположены на энергетических уровнях, непосредственно примыкающих к уровню Ферми. Можно качественно оценить энергетическую глубину залегания уровней, подвергающихся возбуждению. Из молекулярной физики известно, что кинетическая энергия частиц, обусловленная тепловым движением, выражается так:

Следовательно, значение энергии, которую могут передать электронам испытывающие тепловые колебания атомы кристаллической решетки, по порядку величины равно kT. При комнатной температуре  в то время как энергия Ферми для металлов при этой температуре лежит в диапазоне от 3 до 10 эВ. Поэтому оказывается, что в обычных условиях в переходах на более высокие энергетические уровни могут принимать участие не более 1% всех свободных электронов. Причем это как раз те электроны, энергия которых близка к энергии Ферми. Что же касается электронов, заселяющих энергетические уровни, расположенные в глубине потенциальной ямы и удаленные от уровня Ферми больше чем на kT, то они не принимают участия в тепловом возбуждении, из-за чего распределение этих электронов остается таким же, как и при абсолютном нуле.