17-Ma’ruza. Deduksiya teoremasi. Mos keltirib chiqarish haqida lemma. To’liqlik haqida Gyodel teoremasi

4.3.4. .
Isboti. I₁ va IV₁ aksiomalarda quyidagi
va .
o’rniga qo’yishlarni bajarish natijasida ushbu
, (7)
(8)
isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz.
(7) va (8) formulalardan sillogizm qoidasiga asosan

formula kelib chiqadi. Asoslarni birlashtirish qonunidan foydalanib,

formulani hosil qilamiz. Ikki karralik inkorni tushirish qoidasidan foydalanib,

formulaga ega bo’lamiz. Bu yerdan asoslarni ajratish qonunini qo’llab, isbotlanishi kerak bo’lgan (5) formulani keltirib chiqaramiz. ■
4.3.5. .
Isboti. III₃ aksiomada ning o’rniga ni qo’yamiz:
. (9)
II₁ va II₂ aksiomalardan
, (10)
(11)
formulalar kelib chiqadi. (10) va (11) formulalarga kontrpozisiya qoidasini qo’llab, ushbu formulalarni hosil qilamiz:
, (12)
. (13)
Bu formulalarga ikki karralik inkorni tushirish qoidasini qo’llab, quyidagi formulalarni keltirib chiqaramiz:
, (14)
. (15)
Endi (9), (14) va (15) formulalarga murakkab xulosa qoidasini qo’llab,
(16)
formulaga ega bo’lamiz.
Nihoyat, (16) formulaga avval kontrpozisiya qoidasini va so’ngra ikki karralik inkorni tushirish qoidasini qo’llab,

isbotlanishi kerak bo’lgan formulani hosil qilamiz. ■
Muammoli masala va topshiriqlar

1. 
   Quyida berilgan formulalar majmuasidan belgidan so‘ng ifodalangan formulalarni keltirib chiqarish mumkinligini ko’rsating:
   

a) ; b) ;
d) ; e) ;
f) ; g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) .

2. 
   Umumlashgan deduksiya teoremasidan foydalanib, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi ekanligini isbotlang:
   

a) ;
b) ;
d) .

3. 
   Mantiq qonunlarining to’g‘riligini ko’rsating:
   

a) ; b) ; d) .

4. 
   Shartlarni o’rin almashtirish, shartlarni qo’shish va shartlarni ajratish qoidalaridan foydalanib, quyidagilarning to’g‘riligini isbotlang:
   

a) ; b) ;
d) .