161- matеmatika guruhi talabasi

Misollar.
1-misol. Hilbert fazosida erkin o‘zgaruvchi ga ko‘paytirish operatori, ya’ni

operatorni qaraymiz. Uning nuqtali, qoldiq va muhim spektrini toping.
Yechish. Oldin quyidagi umumiy holni ko ‘rib chiqamiz:
kompleks Hilbert fazosida, funksiyaga ko‘paytirish operatorini, ya’ni

operatorni qaraymiz. Bu yerda chegaralangan va o‘lchovli funksiya. ga qo‘shma operatorni topamiz.
Hilbert fazolari bo‘lganligi uchun ga Hilbert ma’nosidagi qo‘shma operatorni topamiz. ning chegaralangan va o‘lchovli ekanligidan operatorning aniqlanish sohasi ekanligi va ning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. Ta’rifga ko‘ra operatorning qo‘shmasi hamma lar uchun
(*)
tenglikni qanoatlantiruvchi operatordan iborat. Agar biz fazodagi skalyar ko‘paytmadan foydalansak, (*) tenglikni quyidagicha yozishimiz mumkin:

Bu tenglikdan

ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan bo‘lishi uchun, deyarli barcha larda bo‘lishi zarur va yetarlidir degan xulosaga kelamiz.
Demak bu misol natijasiga va tenglikka ko‘ra
4-teoremaning (a) tasdig‘iga ko‘ra Ma’lumki,
ya’ni (2)
tenglama ixtiyoriy uchun yagona nol yechimga ega. Demak, operator xos qiymatlarga ega emas, ya’ni (2) tenglama faqat nol yechimga ega ekanligidan “Teskari operatorlar haqidagi teoremalar” mavzusidagi 1-teoremaga ko‘ra tenglamaning ixtiyoriy da yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Ko‘rsatish mumkinki operatorga teskari operator
(3)
formula bilan aniqlanadi. Agar bo‘lsa, u holda natijada operator fazoning hamma yerida aniqlangan va Banax teoremasiga ko‘ra u chegaralangan bo‘ladi. Demak, regulyar nuqta, ya’ni Lekin (3) formula bilan aniqlangan teskari operator bo‘lganda fazoning hamma yerida aniqlanmagan. Demak, Bulardan, Endi operatorning spektridagi ixtiyoriy nuqta uning muhim spektriga qarashli ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy uchun

deymiz. Ma’lum nomerdan boshlab bo‘ladi va bunday nomerlar uchun tenglik o‘rinli. Bundan tashqari har xil va lar uchun bo‘lgani uchun tenglik o‘rinli, ya’ni ortonormal sistema ekan. Ma’lumki, ixtiyoriy ortonormal sistema nolga kuchsiz ma’noda yaqinlashadi, shuning uchun ketma-ketlik ham nolga kuchsiz ma’noda yaqinlashadi. Endi normani baholaymiz:

Demak, ta’rifga ko‘ra son operatorning muhim spektriga qarashli ekan. nuqtani operatorning muhim spektriga qarashli bo‘lishligini o‘quvchiga mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz. Shunday qilib, operatorning spektri faqat muhim spektrdan iborat bo‘lib, u kesma bilan ustma-ust tushadi. Xulosa