161- matеmatika guruhi talabasi

2-teorema. Agar va bo‘lsa, u holda regulyar nuqta bo‘ladi.
Isbot. operatorni quyidagicha yozib olamiz:
(1)
Teorema shartidan operatorning normasi dan kichik ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun “Teskari operatorlar haqidagi teoremalar” mavzusidagi quyidagi teorema:
- Banax fazosi va . Agar bo‘lsa, u holda operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud.
ga ko‘ra operatorning chegaralangan teskarisi mavjud. Bundan va (1) tenglikdan operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, chegaralangan operatorning spektri markazi koordinatalar boshida va radiusi ga teng yopiq doirada saqlanar ekan.
3-teorema. Agar bo‘lsa, u holda yopiq to‘plamdir.
Isbot. Operatorning spektri regulyar nuqtalar to‘plamining to‘ldiruvchi to‘plami bo‘lgani uchun, ning ochiq to‘plam ekanligini ko‘rsatish yetarli. Endi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin, ya’ni operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan bo‘lsin. U holda “Teskari operatorlar haqidagi teoremalar” mavzusidagi quyidagi
operatorga chegaralangan teskari operator mavjud bo‘lsin. Agar operatorning normasi

tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda operatorga chegaralangan teskari operator mavjud.
teoremaga ko‘ra, barcha lar uchun operatorning ham chegaralangan teskarisi mavjud. Demak, nuqta o‘zining atrofi bilan ga qarashli ekan. Bu esa nuqtaning to‘plam uchun ichki nuqta ekanligini bildiradi. ning ixtiyoriyligidan ning ochiq to‘plam ekanligi kelib chiqadi. Demak, yopiq to‘plam.
Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiaz.
4-teorema. o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsin: U holda:
(a) bo‘sh to‘plam.
(b) to‘plam ning qismi, ya’ni
(c) operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o‘zaro ortogonaldir.