161- matеmatika guruhi talabasi

3-misol. Endi Hilbert fazosida ko‘paytirish operatorini, ya’ni
(5)
operatorni qaraymiz .Uning xos qiymatlarini va spektrini toping.
Yechish. bo‘lgan holda, ning chegaralangan ekanligi bilgan holda, bundan tashqari tenglik isbotlangan edi. tenglama bo‘lganda nolmas yechimga ega. Demak, sonlar operatorning xos qiymatlari bo‘lar ekan. Agar birorta ham da bo‘lsa, u holda operator teskarilanuvchan bo‘ladi va
(6)
Bulardan tenglik kelib chiqadi. Ma’lumki, xos qiymatlar operatorning spektriga qarashli bo‘ladi, shuning uchun Ikkinchi tomondan chegaralangan operatorning spektri yopiq to‘plamdir, demak to‘plamning yopig‘i uchun
(7)
munosabat o‘rinli. Agar bo‘lsa, u holda (16.6) tenglik bilan aniqlangan operator fazoning hamma yerida aniqlangan va chegaralangan bo‘ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan
(8)
(7) va (8) munosabatlardan

ga kelamiz. Ko‘rsatamizki ketma-ketlikning barcha limitik nuqtalari operatorning muhim spektriga qarashli bo‘ladi. Buning uchun limitik nuqta ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni qaraymiz. U holda

ketma-ketlik ortonormal sistema bo‘lganligi uchun nolga kuchsiz ma’noda yaqinlashadi. Demak, son operatorning muhim spektriga qarashli ekan.
4-misol. Quyidagicha savol qo‘yamiz. Hilbert fazosida shunday chiziqli operatorga misol keltiringki, uning spektri oldindan berilgan yopiq to‘plam bilan ustma-ust tushsin.
Yechish. Kompleks sonlar to‘plami separabel metrik fazo bo‘lgani uchun, uning hamma yerida zich sanoqli to‘plam mavjud. U holda to‘plam sanoqli va ning hamma yerida zich bo‘ladi. Endi to‘plam elementlarini nomerlab chiqamiz va 3-misolda qaralgan, (5) tenglik bilan aniqlanuvchi operatorni qaraymiz. 3-misolda ko‘rsatilganidek

Bu yerda, biz deb olishimiz ham mumkin. Demak, spektri butun kompleks sonlar to‘plami bilan ustma-ust tushuvchi chiziqli operator mavjud ekan. Bu holda ta’rifga ko‘ra bo‘ladi. Shuni ta’kidlaymizki, agar yopiq to‘plam chegaralangan bo‘lsa, u holda spektri bilan ustma-ust tushuvchi operator ham chegaralangan bo‘ladi va aksincha.