15-ma’ruza. Funksiyani tadqiq qilib grafigini yasashning umumiy sxemasi

Ta’rif. To‘g‘ri chiziq egri chiziqning asimptotasi deyiladi, agar egri chiziqning o‘zgaruvchi nuqtasidan shu to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa, nuqta cheksizga intilganda nolga intiladi.
Har qanday egri chiziq ham asimptotaga ega bo‘lavermaydi. Asimptotalar vertikal va og‘ma bo‘ladi. Funksiyalarni tekshirishda asimptotalarni topish katta ahamiyatga ega bo‘lib, funksiya xarakterini va egri chiziqning o‘zini tutishini yanada aniqroq aniqlash imkonini beradi.
Umuman olganda egri chiziq asiptotaga cheksiz yaqinlasha borib, uni bir nechta nuqtalarda kesib o‘tishi ham mumkin. Masalan, quyida funksiyaning grafiki ko‘rsatilgan. Uning og‘ma asimptotasi to‘g‘ri chiziq bo‘ladi.

Egri chiziq asimptotalarini topish usullarini batafsilroq ko‘ramiz.
Vertikal asimptotalar. Asimptotaning ta’rifidan kelib chiqadiki, agar yoki yoki bo‘lsa, u holda to‘g‘ri chiziq egri chiziqning asimptotasi bo‘ladi.
Masalan, funksiyaning grafigi uchun to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota bo‘ladi.
Og‘ma asimptotalar. Faraz qilaylik, egri chiziq og‘ma asimptotaga ega bo‘lsin. U holda k va b koeffitsientlar quyidagi formulalar yordamida topiladi:


Shuni ta’kidlashimiz kerakki, gorizontal asimptotalar og‘ma asimptotalarning bo‘lgandagi xususiy holi bo‘ladi.
1-misol. funksiyaning asimptotalarini toping va grafigini chizing.
Yechish. va to‘g‘ri chiziqlar egri chiziqning vertikal asimptotalari bo‘ladi.
Endi og‘ma asimptotalarni topamiz: .
Demak, – gorizontal asimptota.



Funksiyani tekshirib grafigini yasashning umumiy sxemasi
Funksiyani tekshirish jarayoni bir nechta bosqichlardan tashkil topadi:

1. 
   Funksiyaning mavjudlik sohasini topish. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasini topishni o‘z ichiga oladi.
   
2. 
   Uzilish nuqtalari (agar ular bor bo‘lsa). Uzilish nuqtalarini aniqlash funksiya grafigining vertikal asimptotalarini topish imkonini beradi.
   
3. 
   Funksiyaning juft-toqligi, davriyligi (agar mavjud bo‘lsa). Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan, juft funksiyaning grafigi esa o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
   
4. 
   Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari va o‘sish va kamayish oraliqlari.
   
5. 
   Funksiyaning aniqlanish sohasidagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish.
   
6. 
   Qavariqlik va botiqlik sohalarini va burilish nuqtasini (agar mavjud bo‘lsa) topish.
   
7. 
   Asimptotalarini (agar ular mavjud bo‘lsa) topish.
   
8. 
   Funksiya grafigini chizish.
   

Bu sxemaning tatbig‘ini misolda ko‘ramiz.