15- mavzu Egri chiziqli integrallar

2.2.4. IKKINCHI tur egri chiziqli integralni hisoblash

Ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash ham aniq integralni hisoblashga keltiriladi.

Agar egri chiziq fazoda parametrik tenglamalar bilan berilgan, ya’ni

bo’lsin, bunda parametr boshlang’ich nuqtaga mos qiymatdan oxirgi


nuqtaga mos qiymatgacha o’zgaradi. egri chiziqda uzluksiz hosilalar mavjud bo’lsa, u holda bo’ladi.
Bundan ushbu

(2.42)
tenglik kelib chiqadi.
Agar tekislikdagi yassi egri chiziqdan iborat, ya’ni

bo’lsa, u holda (13) tenglik quyidagicha soddalashadi:
. (2.43)
Agar yassi egri chiziq kesmada hosilasi bilan birgalikda uzluksiz funksiya bilan berilgan, ya’ni

bo’lsa, u holda
(2.44)
bo’ladi.
3-misol. integralni hisoblang, bu yerda parabolaning dan nuqtalar orasidagi bo’lagi.
Ye c h i s h.

4-misol. astroida bilan chegaralangan figura yuzasini hisoblang.
Y e c h i s h. Yuzani formula bilan hisoblaymiz.
Masala shartiga ko’ra: .
Bundan





2.2.5. Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar
orasidagi bog’lanish


fazoda boshi nuqtada va oxiri nuqtada bo’lgan yo’nalgan egri chiziq berilgan bo’lsin.
Yo’nalgan egri chiziqqa o’tkazilgan urinmalar yo’nalgan kesmalardan iborat
bo’ladi. egri chiziqqa nuqtada o’tkazilgan urinmaning koordinata o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklarini bilan belgilaymiz, bunda bu burchaklar
urinish nuqtasi koordinatalarining funksiyalari bo’ladi. egri chiziqda
elementar yoyni olamiz va uni to’g’ri chiziqli bo’lsin deymiz. Bu yoy egri chiziq bilan bir xil yo’nalgan vektordan iborat bo’ladi.
U holda
.
Bundan umumiy ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan birinchi tur egri chiziqli
integral orasidagi ushbu

(2.45)
bog’lanish formulasi kelib chiqadi.
Xususan, tekislikdagi yassi egri chiziq uchun
. (2.46)