15- mavzu Egri chiziqli integrallar

2.2.2. Birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash

Birinchi tur egri chiziqli integral aniq integralga keltirib hisoblanadi.

Agar egri chiziq fazoda parametrik tenglamalar bilan berilgan, ya’ni

bo’lsin.
egri chiziqda uzluksiz hosilalar mavjud bo’lsa, u holda
yoyning differensiali ushbu

tenglik bilan aniqlanadi.
Bundan quyidagi formula kelib chiqadi:
. (2.34)
Agar tekislikdagi yassi egri chiziqdan iborat, ya’ni

bo’lsa, u holda (2.34) tenglik quyidagicha soddalashadi:
. (2.35)
Yassi egri chiziq tenglamasi qutb koordinatalarida berilgan, ya’ni

bo’lsin. Agar bu chiziqda hosila uzluksiz bo’lsa, u holda (2.35) tenglikdan ushbu
(2.36)
formula kelib chiqadi, bunda parametr sifatida qutb burchagi olindi.
Agar yassi egri chiziq kesmada hosilasi bilan birgalikda uzluksiz funksiya bilan berilgan, ya’ni

bo’lsa, u holda
(2.37)
bo’ladi.
1-misol. integralni hisoblang, bu yerda va nuqtalarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi.
Y e c h i s h. Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidan topamiz:

Bundan

Demak,

2-misol. Agar vint chizig’ining zichligi bo’lsa, uning birinchi
o’rami massasini toping.
Y e c h i s h. Vint chizig’i

parametrik tenglamalar bilan aniqlanadi. Uning birinchi o’rami uchun .
U holda



2.2.3. IKKINCHI tur egri chiziqli integral


fazoda yo’nalgan ( boshi va oxiri bo’lgan) silliq egri chiziq berilgan va bu chiziqning har bir nuqtasida funksiya aniqlangan va uzluksiz bo’lsin.
egri chiziqni nuqtalar bilan dan ga qarab yo’nalishda ixtiyoriy uzunlikdagi ta bo’lakka (yoyga) bo’lamiz, bunda bo’laklarning o’qdagi proyeksiyalari ga teng (18-shakl). Har bir bo’lakda nuqtani tanlab, bu nuqtada funksiyaning qiymatini hisoblaymiz va unu ga ko’paytirib, barcha shunday ko’paytmalarning yig’indisini tuzamiz:
. (2.38)
Bu yig’indiga funksiya uchun o’zgaruvchi bo’yicha integral yig’indi deyiladi.